2003年北京市春季高考數(shù)學試卷（文科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）)1.設，，，．且?，?，且下列結論中正確的是（）A.?B.???C.???D.?2.設和分別表示函數(shù)cos?的最大值和最小值，則?等于（）A.B.?C.?D.??3.若???程方則，?＝的根是（）A.B.?C.D.?4.若集合?，，?，則??A.??.D.C?.B?5.若，，是的三個內角，且????，則下列結論中正確的是（）A.sin?sinB.cos?cosC.???D.???6.在等差數(shù)列中，已知????＝?，那么＝（）A.B.C.D.7.設復數(shù)??，?，則arg??A.B.C.D.?8.函數(shù)???????和?的遞增區(qū)間依次是（）A.????,???.B??，?C.??，???.D?????9.在同一坐標系中，方程?與???????的曲線大致是（）A.B.C.D.試卷第1頁，總6頁 10.某班新年聯(lián)歡會原定的個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目．如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（）A.B.C.D.?11.如圖，在正三角形中，，，分別為各邊的中點，，，，分別為，，、的中點．將沿，，折成三棱錐以后，與所成角的度數(shù)為（）A.?.D.C?.B?12.已知直線??????與圓?相切，則三條邊長分別為，，的三角形（）A.是銳角三角形B.是直角三角形C.是鈍角三角形D.不存在二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）)13.函數(shù)sin?的最小正周期為________．14.如圖，一個底面半徑為的圓柱形量杯中裝有適量的水．若放入一個半徑為的實心鐵球，水面高度恰好升高，則________．15.在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結果與相應年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表．觀察表中數(shù)據(jù)的特點，用適當?shù)臄?shù)填入表中空白（）內．年齡（歲）????收縮壓（水銀柱毫米）?________????舒張壓（水銀柱毫米）?________???試卷第2頁，總6頁 16.如圖，，分別為橢圓?的左、右焦點，點在橢圓上，是面積為的正三角形，則的值是________．三、解答題（共6小題，滿分74分）)17.解不等式：log??????log??．cos?cos?18.已知函數(shù)???求，?的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域．cos19.如圖，?是正四棱柱，側棱長為，底面邊長為，是棱的中點．（1）求三棱錐?的體積；（2）證明平面；（3）求面與面所成二面角的正切值．20.設?????????、??為兩定點，動點到點的距離與到點的距離的比為定值????，求點的軌跡．21.某租賃公司擁有汽車???為金租月的車輛每當．輛??元時，可全部租出．當每輛車的月租金每增加?元時，未租出的車將會增加一輛．租出的車每輛每月需要維護費?費護維要需月每輛每車的出租未，元?元．（1）當每輛車的月租金定為??元時，能租出多少輛車？（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？22.如圖，在邊長為的等邊中，圓為的內切圓，圓與圓外切，且與，相切，…，圓?與圓外切，且與，相切，如此無限繼續(xù)下去．記圓的面積為??．（1）證明是等比數(shù)列；lim（2）求????????的值．試卷第3頁，總6頁 參考答案與試題解析2003年北京市春季高考數(shù)學試卷（文科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1.C2.D3.A4.C5.A6.A7.C8.C9.A10.D11.B12.B二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13.14.15.?,16.三、解答題（共6小題，滿分74分）17.解：原不等式變形為???????????????????∴???????∴，??或?∴?∴原不等式的解集是：?18.解：由cos??，?得解，?，得?，∴函數(shù)??的定義域為?；∵??的定義域關于原點對稱，cos?????cos???cos?cos?且?????，cos???cos∴??是偶函數(shù)．試卷第4頁，總6頁 cos?cos?又∵當?，時，??cos?cos???cos??cos?，cos∴??的值域為??或?．19.解：（1）∵∴又∵∴三棱錐?的體積（2）設連接∵為的中點為的中點∴是的中位線∴又在平面外，在平面內∴平面（3）過作交于，連接則∴是二面角??的一個平面角在中，，，∴又∵是直角三角形∴tan20.解：設動點的坐標為??，????由????得，????化簡可得????????????????．當時，方程化為?．?當時，方程化為??????．??所以當時，點的軌跡為軸；?當時，點的軌跡是以點???為圓心，為半徑的圓．??21.解：（1）當每輛車的月租金定為??元時，??????未租出的車輛數(shù)為，?所以這時租出了輛車．（2）設每輛車的月租金定為元，????????則租賃公司的月收益為?????????????，??整理得??????????????????．??所以，當???????為值大最，大最??，時??，即當每輛車的月租金定為???為益收月大最，大最益收月的司公賃租，時元??元．試卷第5頁，總6頁 22.（1）證明：記為圓的半徑，則tan?，??sin?．??所以???，于是，????故成等比數(shù)列．?（2）解：因為????，lim所以?????．?試卷第6頁，總6頁