2008年上海市春季高考數學試卷一、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）)1.已知集合????灰椆或??，???灰??，則?________．?椆2.計算：lim?________．?椆灰3.函數???的定義域是________灰椆4.方程cos?灰?間區(qū)?間區(qū)在椆??內的解是________．?5.已知數列?是公差不為零的等差數列，椆?椆、若椆、、成等比數列，則?________6.化簡：cos???nis??________．?7.已知是雙曲線灰?椆右支上的一點，雙曲線的一條漸近線方程為?灰?區(qū)、設椆、分別為雙曲線的左、右焦點、若????，則?椆??________．8.已知一個凸多面體共有個面，所有棱長均為椆，其平面展開圖如圖所示，則該凸多面體的體積＝________．椆9.已知無窮數列?前項和?灰椆，則數列?的各項和為________?10.古代“五行”學說認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金、”將五種不同屬性的物質任意排成一列，設事件表示“排列中屬性相克的兩種物質不相鄰”，則事件出現的概率是________（結果用數值表示）．11.已知椆，，…，；椆，，…，（是正整數），令椆?椆???，?????，…，?、某人用右圖分析得到恒等式：椆椆????椆椆???????????，則?________??．12.已知?椆間??間??，?，直線椆?區(qū)，?區(qū)和??灰椆?區(qū)、設是??椆間間??上與、兩點距離平方和最小的點，則椆?的面積是________．試卷第1頁，總8頁 二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）)13.已知向量??間灰??間???，?，若，則等于（）A.B.灰C.灰D.灰??14.已知橢圓?椆，長軸在軸上，若焦距為?，則等于??椆區(qū)灰灰A.?B.C.D.15.???，??”則，???????，數函的上在義定是??，?均為偶函數”是“??為偶函數”的（）A.充要條件B.充分而不必要的條件C.必要而不充分的條件D.既不充分也不必要的條件16.已知，且?灰灰?＝椆，為虛數單位，則?灰?的最小值是（）A.B.?C.?D.三、解答題（共6小題，滿分86分）)cos17.已知cos?灰，?間?，求灰的值．?sinsin18.在平面直角坐標系8中，、分別為直線?與、軸的交點，為的中點、若拋物線??區(qū)?過點，求焦點到直線的距離．19.已知函數??椆?log??（1）求證：函數??在?灰間?內單調遞增；（2）記灰椆??????椆灰程方的于關，數函反的??數函為?在椆間上有解，求的取值范圍．20.某廠根據市場需求開發(fā)折疊式小凳（如圖所示）、凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細鋼管、考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設計小凳應滿足：①凳子高度為?區(qū)，②三根細鋼管相交處的節(jié)點8與凳面三角形重心的連線垂直于凳面和地面．?椆?若凳面是邊長為區(qū)的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為?，確定節(jié)點8分細鋼管上下兩段的比值（精確到區(qū)?區(qū)椆）；??若凳面是頂角為椆區(qū)的等腰三角形，腰長為?，節(jié)點8分細鋼管上下兩段之比為?，確定三根細鋼管的長度（精確到區(qū)?椆）．試卷第2頁，總8頁 21.在直角坐標平面8上的一列點椆?椆間椆?間?，…，?間?，?，…，簡記為?、若由?椆構成的數列?滿足椆，＝椆，，…，其中為方向與軸正方向相同的單位向量，則稱?為點列，椆椆椆（1）判斷椆?椆間椆?間?間?間???間?間，?間?間，是否為點列，并說明理由；?（2）若?為點列，且點在點椆的右上方、任取其中連續(xù)三點、椆、，判斷椆的形狀（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形），并予以證明；（3）若?為點列，正整數椆???滿足＝，求證：．22.已知是實系數方程?區(qū)的虛根，記它在直角坐標平面上的對應點為，?椆?若?間?在直線?區(qū)上，求證：在圓：?灰椆??椆上；椆??區(qū)間、???灰?：圓定給?，則存在唯一的線段滿足：①若在圓上，則?間?在線段上；②若?間?是線段上一點（非端點），則在圓上、寫出線段的表達式，并說明理由；???由??知線段與圓之間確定了一種對應關系，通過這種對應關系的研究，填寫表（表中椆是?椆?中圓椆的對應線段）．線段與線段椆的關系、的取值或表達式所在直線平行于椆所在直線所在直線平分線段椆試卷第3頁，總8頁 參考答案與試題解析2008年上海市春季高考數學試卷一、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）1.????椆2.?3.灰間椆??椆間?4.?椆5.灰椆6.cos7.8.椆9.灰椆椆10.椆11.灰灰椆?12.二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13.C14.D15.B16.B三、解答題（共6小題，滿分86分）cos椆灰cossin17.解：原式?灰??sincossinsincoscos又cos?灰，?間?，?∴sin?椆灰?，?cos椆?∴灰?灰sinsin18.解：由已知可得?間區(qū)?椆間椆?，?間區(qū)?，?，解得拋物線方程為?椆于是焦點?，區(qū)??椆?區(qū)灰??∴點到直線的距離為?試卷第4頁，總8頁 19.解：（1）任取?，則??椆?log灰?椆椆?log???灰??椆椆椆椆log，椆∵?，∴區(qū)?椆椆?椆，椆椆椆椆椆∴區(qū)?椆?椆，log椆?區(qū)，∴?椆????，即函數??在?灰間?內單調遞增（2）∵灰椆??區(qū)??椆灰?log??，灰椆灰椆∴???椆灰椆?log?椆log??椆?log灰?椆灰?log???灰?當椆時，，椆?椆?∴椆灰?椆椆?∴的取值范圍是log???log，??20.解：?椆?設的重心為，連結8，區(qū)?由題意可得，?，?設細鋼管上下兩段之比為，?區(qū)已知凳子高度為?區(qū)，則8?，椆∵節(jié)點8與凳面三角形重心的連線與地面垂直，且凳面與地面平行，∴8就是8與平面所成的角，亦即8??，∵?8，?區(qū)區(qū)?∴?，椆??解得?區(qū)??，灰?即節(jié)點8分細鋼管上下兩段的比值約為區(qū)??.??設?椆區(qū)，∴???，???，設的重心為，則?間?，由節(jié)點8分細鋼管上下兩段之比為?，可知8?椆，試卷第5頁，總8頁 設過點，，的細鋼管分別為，，，則??8?8?椆區(qū)?區(qū)?，?8?8?椆區(qū)椆???椆，∴對應于，，三點的三根細鋼管長度分別為區(qū)?，??椆和區(qū)?.椆21.由題意可知?，椆椆灰椆∴?灰?，椆?椆?顯然有椆，∴?是點列在椆中，椆??灰椆間灰椆?間椆??椆間灰椆?，椆椆?灰椆?灰椆??灰椆?∵點在點椆的右上方，∴椆＝灰椆區(qū)，∵?為點列，∴椆區(qū)，∴?灰椆??灰椆?＝灰椆?區(qū)，則椆椆?區(qū)∴椆為鈍角，∴椆為鈍角三角形、∵椆???，＝，∴灰＝灰區(qū)①灰＝灰灰椆灰椆灰灰???椆灰＝灰椆灰????灰?②同理灰＝灰椆灰????灰?灰椆、③由于?為點列，于是灰椆，④由①、②、③、④可推得灰灰，∴灰灰，即22.解：?椆?由題意可得?區(qū)，解方程灰?區(qū)，得?灰灰灰∴點?灰間灰灰?灰灰灰間灰?或?，將點代入圓椆的方程，等號成立，∴在圓：?灰椆??椆上；椆??當?區(qū)，即?時，解得?灰灰，∴點?灰間灰?灰灰間灰?或?，由題意可得?灰灰?灰?，整理后得?灰灰，∵???灰??，區(qū)??灰?，∴?灰灰間灰?∴線段為：?灰灰，灰灰間灰試卷第6頁，總8頁 若?間?是線段上一點（非端點），則實系數方程為灰灰?區(qū)，?灰灰間灰?此時?區(qū)，且點?灰間灰????灰間灰灰???在圓上；???所求如下表：、線的段取值與或線表段達椆式的關系?所椆在，直線椆平行于椆所在直線灰所?灰在椆??直椆線，平椆分線段椆線?椆段???與線段椆長試卷第7頁，總8頁 度相等試卷第8頁，總8頁