2015年遼寧省遼陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的）)1.的相反數(shù)是（）A.B.C.D.2.下列計(jì)算正確的是（）A.＝B.＝C.＝D.3.下列各圖不是正方體表面展開(kāi)圖的是（）A.B.C.D.4.一組數(shù)據(jù)：，，，，，，，的中位數(shù)是（）A.B.?C.D.5.如圖，，，，則?的度數(shù)為（）A.B.C.D.6.從甲地到乙地有兩條公路，一條是全長(zhǎng)公里的普通公路，一條是全長(zhǎng)公里的高速公路，某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快公里/小時(shí)，由高速公路從甲地到乙地所需的時(shí)間是由普通公路從甲地到乙地所需時(shí)間的一半．如果設(shè)該客車由高速公路從甲地到乙地所需時(shí)間為小時(shí)，那么滿足的分式方程是A.B.C.D.7.如圖，直線與??（?且?，?為常數(shù)）的交點(diǎn)坐標(biāo)為?試卷第1頁(yè)，總13頁(yè) ，則關(guān)于的不等式??的解集為（）A.B.C.D.8.下列事件為必然事件的是（）A.如果?，?是實(shí)數(shù)，那么????B.拋擲一枚均勻的硬幣，落地后正面朝上C.汽車行駛到交通崗遇到綠色的信號(hào)燈D.口袋中裝有個(gè)紅球，從中隨機(jī)摸出一球，這個(gè)球的白球9.如圖，在邊長(zhǎng)為的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)系，?與?是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A.?.D?.C?.B?10.如圖，點(diǎn)是雙曲線在第二象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接?并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)，以為底作等腰，且＝，點(diǎn)在第一象限，隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的位置也不斷變化，但點(diǎn)始終在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，則的值為（）A.B.C.D.二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）)11.某工業(yè)園區(qū)，今年第一季度新開(kāi)工個(gè)項(xiàng)目，總投資億元．請(qǐng)將億，試卷第2頁(yè)，總13頁(yè) 用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_______．12.的整數(shù)部分是________．13.如圖，點(diǎn)，，是?上的點(diǎn)，?，則________度．14.某校組織“書香校園”讀書活動(dòng)，某班圖書角現(xiàn)有文學(xué)書本，科普書本，人物傳記本，軍事書本，小明隨機(jī)抽取一本，恰好是人物傳記的概率是________．15.如圖，在中，于，點(diǎn)?為的中點(diǎn)，＝，?＝，則線段的長(zhǎng)等于________．16.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)_______．17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形?，?，?，將沿對(duì)角線翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．18.如圖，，，?，在中截出一個(gè)正方形，使點(diǎn)，分別在，邊上，邊在邊上；在在截出第二個(gè)正方形，使點(diǎn)，分別在，邊上，邊在邊上；…，依此方法作下去，則第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．試卷第3頁(yè)，總13頁(yè) 三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）)19.先化簡(jiǎn)，再求值：，請(qǐng)選取一個(gè)適當(dāng)?shù)牡臄?shù)值代入求值．20.校文藝部在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取一部分同學(xué)，對(duì)同學(xué)們喜愛(ài)的四種“明星真人秀”節(jié)目進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（每位同學(xué)只能選擇一種最喜愛(ài)的節(jié)目），并將調(diào)查結(jié)果整理后分別繪制成如圖所示的不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖）．請(qǐng)根據(jù)所給信息回答下列問(wèn)題：（1）本次問(wèn)卷調(diào)查共調(diào)查了多少名學(xué)生？（2）請(qǐng)將兩幅統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）若該校有名學(xué)生，據(jù)此估計(jì)有多少名學(xué)生最喜愛(ài)《奔跑吧兄弟》節(jié)目．四、解答題（每小題12分，共24分）)21.某賓館準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批換氣扇，從電器商場(chǎng)了解到：一臺(tái)型換氣扇和三臺(tái)型換氣扇共需元；三臺(tái)型換氣扇和二臺(tái)型換氣扇共需元．（1）求一臺(tái)型換氣扇和一臺(tái)型換氣扇的售價(jià)各是多少元；（2）若該賓館準(zhǔn)備同時(shí)購(gòu)進(jìn)這兩種型號(hào)的換氣扇共臺(tái)并且型換氣扇的數(shù)量不多于型換氣扇數(shù)量的倍，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案，并說(shuō)明理由．22.如圖，碼頭在碼頭的正東方向，兩個(gè)碼頭之間的距離為海里，今有一貨船由碼頭出發(fā)，沿北偏西方向航行到達(dá)小島處，此時(shí)測(cè)得碼頭在南偏東方向，求碼頭與小島的距離．（?，結(jié)果精確到?海里）試卷第4頁(yè)，總13頁(yè) 五、解答題（本題12分）)23.如圖，在中，＝，以為直徑的?分別交，于點(diǎn)，?，于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：直線是?的切線；若，cos，求的長(zhǎng).六、解答題（本題12分）)24.某商場(chǎng)試銷一種商品，成本為每件元，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于?，一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系如下表：銷售單價(jià)（元）……銷售量（件）……請(qǐng)根據(jù)表格中所給數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)商場(chǎng)所獲利潤(rùn)為元，將商品銷售單價(jià)定為多少時(shí)，才能使所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？七、解答題（本題12分）)25.菱形中，兩條對(duì)角線，相交于點(diǎn)?，??＝，??繞點(diǎn)?旋轉(zhuǎn)，射線?交邊于點(diǎn)?，射線??交邊于點(diǎn)，連接?．（1）如圖，當(dāng)＝時(shí)，??的形狀是________；（2）如圖，當(dāng)＝時(shí)，請(qǐng)判斷??的形狀，并說(shuō)明理由；（3）在（1）的條件下，將??的頂點(diǎn)移到?的中點(diǎn)?處，??繞點(diǎn)?旋轉(zhuǎn)，仍滿足??＝，射線?交直線于點(diǎn)?，射線??交直線于??點(diǎn)，當(dāng)＝，且時(shí)，直接寫出線段?的長(zhǎng)．試卷第5頁(yè)，總13頁(yè) 八、解答題（本題14分）)26.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線＝??相交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上存在一點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖，點(diǎn)?為線段上一點(diǎn)，?＝，以?為腰作等腰?，使它與?在直線的同側(cè)，?＝，?沿著方向以每秒一個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，?與?重疊部分的面積為，直接寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．試卷第6頁(yè)，總13頁(yè) 參考答案與試題解析2015年遼寧省遼陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的）1.A2.A、原式＝x，錯(cuò)誤B、原式＝2x，錯(cuò)誤C、原式＝﹣8x，錯(cuò)誤D、原式x，正確，3.C4.B5.B6.D7.D8.A9.C10.B二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11.?12.13.14.15.16.17.?18.?三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）19.解：?，，．當(dāng)時(shí)，原式．20.本次問(wèn)卷調(diào)查共調(diào)查的學(xué)生數(shù)為：?＝（名）奔跑吧兄弟的百分比為?＝?，喜歡爸爸去哪里了的人數(shù)為?＝（名），試卷第7頁(yè)，總13頁(yè) 喜歡花兒與少年的人數(shù)為：＝（名），喜歡花兒與少年的百分比為?＝?，如圖，?＝（名）答：估計(jì)有名學(xué)生最喜愛(ài)《奔跑吧兄弟》節(jié)目．四、解答題（每小題12分，共24分）21.一臺(tái)型換氣扇元，一臺(tái)型換氣扇的售價(jià)為元；最省錢的方案是購(gòu)進(jìn)臺(tái)型換氣扇，臺(tái)型換氣扇22.碼頭與小島的距離約為?海里．五、解答題（本題12分）23.證明：如圖，連接?，∵，∴.∵??，∴?，∴?，∴?，∴?.試卷第8頁(yè)，總13頁(yè) ∵，∴，∴?，∴?.∵?是?的半徑，∴直線是?的切線．解：如圖，∵，是?的直徑，∴??.由可得?，?，∴?，?.在?和中，?，，∴?，??∴.∵cos，∴cos?，?∴?，cos?∴??，∴，解得，∴，即的長(zhǎng)是．六、解答題（本題12分）24.解：根據(jù)所給數(shù)據(jù)可知與的圖象是一條直線，設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為?，將，；，代入?得：?，，解得：?，??∴.經(jīng)驗(yàn)證，，；，都滿足上述函數(shù)關(guān)系式，試卷第9頁(yè)，總13頁(yè) ∴與的函數(shù)關(guān)系式為；由題意得：?，∴．∵?，∴拋物線開(kāi)口向下．∵，在對(duì)稱軸的左側(cè)，∴隨的增大而增大．∴當(dāng)時(shí)，有最大值，(元)．最大答：商品的銷售單價(jià)定為元時(shí)，才能使所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元．七、解答題（本題12分）25.等腰直角三角形??是等邊三角形；證明：如圖，過(guò)?點(diǎn)作?于，作?于，∴??＝?＝?＝，∵四邊形是菱形，∴平分，＝，∴?＝?，＝＝，∵???＝，∴?＝，∴??＝，∴?＝??＝，∵?＝??，??＝???，∴??＝?，在??與?中，?????，???∴???，∴??＝?，∴??是等邊三角形；證明：如圖，∵菱形中，＝，∴四邊形是正方形，?∴，過(guò)?點(diǎn)作?于，作?于，∴?＝?＝＝，∴四邊形?是矩形，∴?，?，???∴，∵＝＝＝＝，∴?＝?＝，∴四邊形?是正方形，∴＝?＝，?＝試卷第10頁(yè)，總13頁(yè) ∵??＝，∴??＝，∴??＝?＝，∵?＝??，??＝???，∴??＝?，在??與?中，?????，???∴???，∴??＝?，∴??是等腰直角三角形；??∵＝＝，，正方形∴??＝，∵????，∴??＝，在??中，????，∴?＝?＝．根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)??旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時(shí)，?＝?＝．綜上可得，線段?的長(zhǎng)為或．試卷第11頁(yè)，總13頁(yè) 八、解答題（本題14分）26.對(duì)于直線，當(dāng)＝時(shí)，，即＝，∴?，當(dāng)＝時(shí)，＝，即?，??把與坐標(biāo)代入＝??中，得：，??解得：，?則拋物線解析式為；″設(shè)坐標(biāo)為?，①當(dāng)＝時(shí)，如圖，作?軸，則有??＝，∴??＝，∵??＝，∴??＝，∴?＝?，∵??＝?，∴??，??∴，??即，解得：或＝（舍去），當(dāng)時(shí)，，即?；??②當(dāng)＝時(shí)，易知??，∴，??即，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，即?，則滿足條件的坐標(biāo)為?或?；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軸上時(shí)，易知??，試卷第12頁(yè)，總13頁(yè) ??∴，∴?，∴??＝??＝，??∴當(dāng)時(shí)，＝；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．試卷第13頁(yè)，總13頁(yè)