§2.3 基本不等式與不等式的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一 基本不等式及其應(yīng)用1.已知x∈,則x(1-4x)取最大值時(shí)x的值是( )A. B. C. D.答案 C2.下列結(jié)論正確的是 ( )A.當(dāng)x>0且x≠1時(shí),lgx+≥2B.當(dāng)x∈時(shí),sinx+的最小值為4C.當(dāng)x>0時(shí),+≥2D.當(dāng)00,b>0,則下列不等式中一定成立的是( )A.a+b+≥2 B.≤C.≤a+b D.(a+b)≥4答案 ABD考點(diǎn)二 不等式的綜合應(yīng)用6.設(shè)00成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為( )A.(-1,2) B.(1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)答案 D
9.對于實(shí)數(shù)a,b,m,下列說法:①若a>b,則am2>bm2;②若a>b,則a|a|>b|b|;③若b>a>0,m>0,則>;④若a>b>0,且|lna|=|lnb|,則2a+b的最小值為2.其中是真命題的為( )A.①② B.②③ C.③④ D.①④答案 B[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一 基本不等式及其應(yīng)用1.(2020福建三明第一中學(xué)10月月考,9)已知a>0,b>0,a,b的等比中項(xiàng)是1,且m=b+,n=a+,則m+n的最小值是( )A.3 B.4 C.5 D.6答案 B ∵a,b的等比中項(xiàng)是1,∴ab=1,∴m+n=b++a+=a+b+=2(a+b)≥4=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),等號(hào)成立.故選B.2.若正數(shù)m,n滿足2m+n=1,則+的最小值為( )A.3+2 B.3+ C.2+2 D.3答案 A 因?yàn)?m+n=1,所以+=·(2m+n)=3++≥3+2=3+2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即n=m時(shí)等號(hào)成立,所以+的最小值為3+2,故選A.3.(2019浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,14)已知x,y∈R,且4x2+y2+xy=1,則4x2+y2的最小值為 ,此時(shí)x的值為 .?答案 ;±
解析 1=4x2+y2+xy=4x2+y2+×2xy≤4x2+y2+×=(4x2+y2),所以4x2+y2≥,當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)取等號(hào),此時(shí)x=±.考點(diǎn)二 不等式的綜合應(yīng)用1.(2018山西第一次模擬,5)若P為圓x2+y2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且A(-1,0),B(1,0),則|PA|+|PB|的最大值為( )A.2 B.2 C.4 D.4答案 B 當(dāng)P與A或B重合時(shí),|PA|+|PB|=2,當(dāng)P與A不重合且與B不重合時(shí),由題意知∠APB=90°,∴|PA|2+|PB|2=4,∴≤=2(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|時(shí)取等號(hào)),∴|PA|+|PB|≤2,∴|PA|+|PB|的最大值為2.故選B.2.已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .?答案 解析 要滿足f(x)=x2+mx-1<0對于任意x∈[m,m+1]恒成立,只需即解得-0,∴+=(2x+2y)=2+2a++≥2+2a+4≥8,解得a≥1,∴正實(shí)數(shù)a的最小值為1.5.網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊,兩者的結(jié)合將在未來一段時(shí)期內(nèi)成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2019年1月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個(gè)月的運(yùn)營發(fā)現(xiàn),產(chǎn)品的月銷售量x萬件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t萬元之間滿足x=3-的函數(shù)關(guān)系式.已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬元,產(chǎn)品每1萬件進(jìn)貨價(jià)格為32萬元,若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和,則該公司的最大月利潤是 萬元.?答案 37.5解析 由題意知t=-1(1≤x<3),設(shè)該公司的月利潤為y萬元,所以
y=x-32x-3-t=16x--3=16x-+-3=45.5-≤45.5-2=37.5,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào),即最大月利潤為37.5萬元.綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一 利用基本不等式求最值1.(2020福建泉州測試,6)若x>0,y>0,且+=1,則x+2y的最小值是( )A.10 B.4 C.8 D.6答案 C2.(2020山東泰安期末檢測,6)若log3(2a+b)=1+lo,則a+2b的最小值為( )A.6 B. C.3 D.答案 C3.(2020河北衡水中學(xué)第九次調(diào)研,6)設(shè)m,n為正數(shù),且m+n=2,則+的最小值為( )A. B. C. D.答案 D考法二 一元二次不等式恒成立問題的解法4.(2020江蘇宿遷開學(xué)考試,7)設(shè)m為實(shí)數(shù),若函數(shù)f(x)=x2-mx+2在區(qū)間(-∞,2)上是減函數(shù),對任意的x1,x2∈,總有|f(x1)-f(x2)|≤4,則m的取值范圍為( )A.[4,6] B.(4,6) C.(4,6] D.[4,6)答案 A
5.(2020北京中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷,6)已知關(guān)于x的不等式ax2-2x+3a<0在(0,2]上有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A. B. C. D.答案 A6.(2020江蘇常熟三模,7)已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+=1,且+b≥2t2-7t恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為 .?答案 7.(2020江蘇揚(yáng)州江都大橋高級(jí)中學(xué)月考,15)已知1+2x+4x·a>0對一切x∈(-∞,1]恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .?答案 [教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一 利用基本不等式求最值的方法1.(2018黑龍江七臺(tái)河測試)已知m=8-n,m>0,n>0,則mn的最大值為( )A.4 B.8 C.16 D.32答案 C ∵m=8-n,∴m+n=8,又∵m>0,n>0,∴mn≤=16,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=4時(shí),等號(hào)成立.故選C.2.(2019新疆第一次畢業(yè)診斷,10)函數(shù)y=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上,其中m>0,n>0,則+的最小值是( )A.6 B.7 C.8 D.9答案 C 對于函數(shù)y=loga(x-1)+1(a>0且a≠1),令x-1=1,求得x=2,y=1,可得函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A(2,1),因?yàn)辄c(diǎn)A在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上,所以有1=2m+n,因?yàn)閙>0,n>0,所以
+=+=4++≥4+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),取等號(hào),故+的最小值是8,故選C.3.(2019福建廈門3月聯(lián)考,9)對任意m,n∈R+,都有m2-amn+2n2≥0,則實(shí)數(shù)a的最大值為( )A. B.2 C.4 D.答案 B ∵對任意m,n∈R+,都有m2-amn+2n2≥0,∴m2+2n2≥amn,即a≤=+恒成立,∵+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào),∴a≤2,故a的最大值為2,故選B.考法二 一元二次不等式恒成立問題的解法1.(2018湖南長、望、瀏、寧四縣3月聯(lián)合調(diào)研,12)設(shè)f(x)滿足f(-x)=-f(x),且在[-1,1]上是增函數(shù),且f(-1)=-1,若f(x)≤t2-2at+1對所有的x∈[-1,1],當(dāng)a∈[-1,1]時(shí)都成立,則t的取值范圍是( )A.-≤t≤ B.t≥2或t≤-2或t=0C.t≥或t≤-或t=0 D.-2≤t≤2答案 B 若f(x)≤t2-2at+1對所有的x∈[-1,1],當(dāng)a∈[-1,1]時(shí)都成立,則由已知易得f(x)的最大值是1,∴1≤t2-2at+1?2at-t2≤0.設(shè)g(a)=2at-t2(-1≤a≤1),欲使2at-t2≤0恒成立,只需滿足?t≥2或t=0或t≤-2.故選B.2.已知x∈(0,+∞)時(shí),不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立,則m的取值范圍是( )A.2-21),則由已知得,函數(shù)f(t)=t2-mt+m+1在t∈(1,+∞)
上的圖象恒在橫軸的上方,則對于方程f(t)=0有Δ=(-m)2-4(m+1)<0或解得m<2+2.解法二:因?yàn)閤∈(0,+∞),所以3x>1,3x-1>0,由9x-m·3x+m+1>0得m<,令f(x)=,所以f(x)==3x-1++2≥2+2(當(dāng)且僅當(dāng)3x=1+時(shí)取“=”).所以m<2+2.3.(2018河北衡水金卷(一),12)已知數(shù)列{an}中,a1=2,n(an+1-an)=an+1,n∈N*,若對于任意的a∈[-2,2],n∈N*,不等式<2t2+at-1恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為( )A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(-∞,-2]∪[1,+∞)C.(-∞,-1]∪[2,+∞) D.[-2,2]答案 A 由n(an+1-an)=an+1,得nan+1-(n+1)an=1,則有-==-,則有=+++…++a1=+++…++2=3-<3.∵對于任意的a∈[-2,2],n∈N*,不等式<2t2+at-1恒成立,∴2t2+at-1≥3,即2t2+at-4≥0.設(shè)f(a)=2t2+at-4,a∈[-2,2],可得f(2)≥0且f(-2)≥0,即有即可得t≥2或t≤-2,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-∞,-2]∪[2,+∞),故選A.
