§11.2 離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一 離散型隨機(jī)變量及其分布列1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下,則P(|X-2|=1)等于( )X1234PmA. B. C. D.答案 C2.為創(chuàng)建國家級(jí)文明城市,某城市號(hào)召出租車司機(jī)在高考期間至少進(jìn)行一次“愛心送考”,該城市某出租車公司共200名司機(jī),他們進(jìn)行“愛心送考”的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.(1)求該出租車公司的司機(jī)進(jìn)行“愛心送考”的人均次數(shù);(2)從這200名司機(jī)中任選兩人,設(shè)這兩人進(jìn)行送考次數(shù)之差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.考點(diǎn)二 離散型隨機(jī)變量的均值與方差3.已知X的分布列為X-101
P設(shè)Y=2x+3,則E(Y)的值為( )A. B.4 C.-1 D.1答案 A4.已知隨機(jī)變量ξ滿足P(ξ=0)=,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=-x,若01,故A不符合題意;B選項(xiàng)的分布列中,-<0,故B不符合題意;C選項(xiàng)的分布列中,滿足0≤P≤1以及各概率之和等于1,故C符合題意;D選項(xiàng)的分布列中,+2a+a2+2=(a+1)2+>1,故D不符合題意.故選C.2.(2019廣東汕頭一模,5)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X0123
Pm則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=( )A. B.1 C. D.2答案 B 由題意可得++m+=1,可得m=.則E(X)=0×+1×+2×+3×=1,故選B.3.(2020山西太原模擬,6)某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下表:ξ78910Px0.10.3y已知ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=8.9,則y的值為( )A.0.8 B.0.6C.0.4 D.0.2答案 C 由題中表格可知x+0.1+0.3+y=1,7x+8×0.1+9×0.3+10y=8.9,解得y=0.4.故選C.4.有同一型號(hào)的電視機(jī)100臺(tái),其中一級(jí)品97臺(tái),二級(jí)品3臺(tái),從中任取4臺(tái),則二級(jí)品不多于1臺(tái)的概率為 (用式子表示).?答案 解析 設(shè)二級(jí)品有X臺(tái),由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布,則取二級(jí)品1臺(tái)時(shí),P(X=1)=;取二級(jí)品0臺(tái)時(shí),P(X=0)=,故P(X≤1)=P(X=1)+P(X=0)=.5.某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每名同學(xué)被選到的可能性相同).(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率;
(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列.解析 (1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A,則P(A)==.所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).∴P(X=0)==,P(X=1)==.P(X=2)==,P(X=3)==.隨機(jī)變量X的分布列為X0123P6.(2018北京東城二模,16)某銀行的工作人員記錄了3月1日到3月15日上午10:00在該銀行取號(hào)后等待辦理業(yè)務(wù)的人數(shù),如圖所示:從這15天中隨機(jī)選取一天,隨機(jī)變量X表示當(dāng)天上午10:00在該銀行取號(hào)后等待辦理業(yè)務(wù)的人數(shù).(1)請(qǐng)把X的分布列補(bǔ)充完整;X891011121314
P(2)令m為X的數(shù)學(xué)期望,若P(m-n≤X≤m+n)>0.5,求正整數(shù)n的最小值;(3)由圖判斷,從哪天開始的連續(xù)五天上午10:00在該銀行取號(hào)后等待辦理業(yè)務(wù)的人數(shù)的均值最大?(結(jié)論不要求證明)解析 (1)X的分布列為X891011121314P(2)由(1)可得X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=8×+9×+10×+11×+12×+13×+14×=10,所以m=10.因?yàn)镻(10-1≤X≤10+1)==<0.5,P(10-2≤X≤10+2)==>0.5,所以nmin=2.(3)第10日或第11日.考點(diǎn)二 離散型隨機(jī)變量的均值與方差1.(2018廣東省際名校聯(lián)考(二),11)不透明袋子中裝有大小、材質(zhì)完全相同的2個(gè)紅球和5個(gè)黑球,現(xiàn)從中逐個(gè)不放回地摸出小球,直到取出所有紅球?yàn)橹?則摸取次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是( )A. B. C. D.答案 D 當(dāng)X=k時(shí),第k次取出的必然是紅球,而前(k-1)次中,有且只有1次取出的是紅球,其余取出的皆為黑球,故P(X=k)==,于是得到X的分布列為
X234567P故E(X)=2×+3×+4×+5×+6×+7×=.故選D.2.(2018安徽合肥第一中學(xué)沖刺,8)某班級(jí)有男生32人,女生20人,現(xiàn)選舉4名學(xué)生分別擔(dān)任班長、副班長、團(tuán)支部書記和體育委員.男生當(dāng)選的人數(shù)記為ξ,則ξ的數(shù)學(xué)期望為( )A. B. C. D.答案 C 由題意得ξ=0,1,2,3,4.P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=.故選C.3.(2020四川綿陽模擬,7)小明與另外2名同學(xué)進(jìn)行“手心手背”游戲,規(guī)則是:3人同時(shí)隨機(jī)等可能選擇手心或手背中的一種手勢,規(guī)定相同手勢人數(shù)多者每人得1分,其余每人得0分,現(xiàn)3人共進(jìn)行了4次游戲,記小明4次游戲得分之和為X,則X的期望為( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C 由題意知X的可能取值為0,1,2,3,4,設(shè)其他兩位同學(xué)為a,b,小明為c,列表如下:abc手心手心手背手心手背手背手心手心手心手心手背手心手背手心手背手背手心手心手背手背手背手背手背手心
共有8種情況,小明得1分的結(jié)果有6種情況,∴小明每局得1分的概率P=,∴X~B,∴E(X)=4×=3.故選C.4.離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表,若Eξ=1,則Dξ的值為 .?ξ012P0.2ab答案 0.4解析 ∵Eξ=1,∴結(jié)合離散型隨機(jī)變量ξ的分布列,得解得a=0.6,b=0.2,∴Dξ=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4.5.(2018河南南陽一中第七次考試,14)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,現(xiàn)逐一檢測,直至能確定所有次品為止,記檢測的次數(shù)為ξ,則E(ξ)= .?答案 解析 由題意知ξ=2,3,4,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)=1--=.因此E(ξ)=2×+3×+4×=.6.(2020甘肅、青海、寧夏聯(lián)考,18)某廠銷售部以箱為單位銷售某種零件,每箱的定價(jià)為200元,低于100箱按原價(jià)銷售;不低于100箱通過雙方議價(jià),買方能以優(yōu)惠8%成交的概率為0.6,以優(yōu)惠6%成交的概率為0.4.(1)甲、乙兩單位都要在該廠購買150箱這種零件,兩單位各自達(dá)成的成交價(jià)相互獨(dú)立,求甲單位優(yōu)惠比例不低于乙單位優(yōu)惠比例的概率;(2)某單位需要這種零件650箱,求購買總價(jià)X的數(shù)學(xué)期望.解析 (1)因?yàn)榧讍挝粌?yōu)惠比例低于乙單位優(yōu)惠比例的概率為0.4×0.6=0.24,
所以甲單位優(yōu)惠比例不低于乙單位優(yōu)惠比例的概率為1-0.24=0.76.(2)設(shè)在折扣優(yōu)惠中每箱零件的價(jià)格為Y元,則Y=184或188.Y的分布列為Y184188P0.60.4則E(Y)=184×0.6+188×0.4=185.6(元).從而購買總價(jià)X的數(shù)學(xué)期望E(X)=185.6×650=120640(元).思路分析 (1)先求甲單位優(yōu)惠比例低于乙單位優(yōu)惠比例的概率,再由對(duì)立事件得所求概率;(2)先寫出在折扣優(yōu)惠中每箱零件的價(jià)格的取值,再列分布列求解,從而求得答案.綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法 求離散型隨機(jī)變量的期望與方差的方法1.(2020浙江東陽中學(xué)月考,7)已知隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,則D(X)=( )A. B. C. D.1答案 B2.(2021屆浙江嘉興9月教學(xué)測試,14)已知盒中裝有n(n>1)個(gè)紅球和3個(gè)黃球,從中任取2個(gè)球(取到每個(gè)球是等可能的),隨機(jī)變量X表示取到黃球的個(gè)數(shù),且X的分布列為:X012Pab則n= ;E(X)= .?答案 3;13.(2021屆浙江高考選考科目9月聯(lián)考,13)17世紀(jì),有一個(gè)賭徒向法國著名數(shù)學(xué)家帕斯卡挑戰(zhàn),
給他出了一道題目:甲、乙兩個(gè)人賭博,他們兩人獲勝的概率相等,比賽規(guī)則是先勝三局者為贏家,一共進(jìn)行五局,贏家可以獲得100法郎的獎(jiǎng)勵(lì).當(dāng)比賽進(jìn)行到第四局的時(shí)候,甲勝了兩局,乙勝了一局,這時(shí)由于某些原因中止了比賽,那么如何分配這100法郎才比較公平?因?yàn)榧纵數(shù)艉髢删值目赡苄灾挥小?,也就是說,甲贏得后兩局或后兩局中任意贏一局的概率為1-=,甲有75%的期望獲得100法郎;而乙期望贏得100法郎就得在后兩局均擊敗甲,乙連續(xù)贏得后兩局的概率為×=,即乙有25%的期望獲得100法郎獎(jiǎng)金.這個(gè)故事里出現(xiàn)了“期望”這個(gè)詞,數(shù)學(xué)期望由此而來.若某隨機(jī)事件的概率分布列滿足P(ξ=i)=a·(i=1,2,3,4),則a= ;若E(bξ+1)=,則b= .?答案 1;4.(2019廣東佛山順德第二次教學(xué)質(zhì)量檢測,18)某糕點(diǎn)房推出一類新品蛋糕,該蛋糕的成本價(jià)為4元,售價(jià)為8元.受保質(zhì)期的影響,當(dāng)天沒有銷售完的糕點(diǎn)只能銷毀.經(jīng)過長期調(diào)研,統(tǒng)計(jì)了一下該新品的日需求量.現(xiàn)將近期一個(gè)月(30天)的需求量展示如下:日需求量X(個(gè))20304050天數(shù)510105(1)從這30天中任取兩天,求兩天的日需求量均為40個(gè)的概率;(2)以上表中的頻率作為概率,列出日需求量X的分布列,并求該月的日需求量X的期望;(3)根據(jù)(2)中的分布列求得當(dāng)該糕點(diǎn)房一天制作35個(gè)該類蛋糕時(shí),對(duì)應(yīng)的利潤的期望為;現(xiàn)有員工建議擴(kuò)大生產(chǎn),一天生產(chǎn)45個(gè),求對(duì)應(yīng)利潤的期望,判斷此建議該不該被采納.5.(2019安徽宣城二模,19)某中學(xué)利用周末組織教職工進(jìn)行了一次秋季登山健身的活動(dòng),有N人參加,現(xiàn)將所有參加者按年齡情況分為[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)共七組,其頻率分布直方圖如圖所示,已知[25,30)的參加者是6人.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖求該校參加秋季登山活動(dòng)的教職工年齡的中位數(shù);(2)已知[35,40)和[40,45)這兩組各有2名數(shù)學(xué)教師,現(xiàn)從這兩個(gè)組中各選取2人擔(dān)任接待工作,設(shè)兩組的選擇互不影響,求兩組選出的人中恰有1名數(shù)學(xué)教師的概率;(3)組織者從[45,55)的參加者(其中共有4名女教師,其余全為男教師)中隨機(jī)選取3名擔(dān)任后勤保障工作,其中女教師的人數(shù)為X,求X的分布列和均值.[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法 離散型隨機(jī)變量的期望與方差的方法1.(2019山東臨沂期末,3)在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)中,令X=若隨機(jī)變量X的分布列如下:X01P0.3p則EX=( )A.0.21 B.0.3 C.0.5 D.0.7答案 D 由隨機(jī)變量X的分布列得p=1-0.3=0.7,∴EX=0×0.3+1×0.7=0.7.2.(2018廣東深圳南山入學(xué)摸底考試,5)一個(gè)攤主在一旅游景點(diǎn)設(shè)攤,在不透明口袋中裝入除顏色外無差別的2個(gè)白球和3個(gè)紅球.游客向攤主付2元進(jìn)行1次游戲.游戲規(guī)則如下:游客從口袋中隨機(jī)摸出2個(gè)小球,若摸出的小球同色,則游客獲得3元獎(jiǎng)勵(lì);若異色,則游客獲得1元獎(jiǎng)勵(lì).則攤主從每次游戲中獲得的利潤X(單位:元)的期望是( )A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
答案 A 游客摸出的2個(gè)小球同色的概率為=,所以攤主從每次游戲中獲得的利潤的分布列為X-11P因此EX=-1×+1×=0.2.3.(2020北京清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測試,8)已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξxyPyx則下列說法正確的是( )A.存在x,y∈(0,1),E(ξ)>B.對(duì)任意x,y∈(0,1),E(ξ)≤C.對(duì)任意x,y∈(0,1),D(ξ)≤E(ξ)D.存在x,y∈(0,1),D(ξ)>答案 C 根據(jù)分布列的性質(zhì)有y+x=1,則E(ξ)=2xy≤2=當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào),所以A、B錯(cuò)誤;由于E(ξ)=2x(1-x),D(ξ)=x(1-x)(2x-1)2,且x∈(0,1)時(shí),有(2x-1)2∈[0,1),顯然有任意x,y∈(0,1),D(ξ)≤E(ξ)≤,故C正確,D錯(cuò)誤,故選C.4.(2020北京十三中開學(xué)摸底,14)同時(shí)拋擲兩枚相同的均勻硬幣,隨機(jī)變量ξ=1表示結(jié)果中有正面向上,ξ=0表示結(jié)果中沒有正面向上,則Eξ= .?答案 解析 本題考查兩點(diǎn)分布的期望,
通過兩點(diǎn)分布的期望考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法分析問題、解決問題的能力,體現(xiàn)邏輯推理的核心素養(yǎng).由題意知,本題符合兩點(diǎn)分布,結(jié)果中沒有正面向上的概率為,此時(shí)ξ=0,而ξ=1時(shí)對(duì)應(yīng)概率為,∴Eξ=1×+0×=.5.現(xiàn)有2位男生,3位女生去參加一個(gè)聯(lián)歡活動(dòng),該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目可供參加者選擇.(1)為增加趣味性,約定:每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定自己去參加哪個(gè)聯(lián)歡項(xiàng)目,擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲聯(lián)歡項(xiàng)目,擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙聯(lián)歡項(xiàng)目.求這5人中恰好有3人去參加甲聯(lián)歡項(xiàng)目的概率;(2)若從這5人中隨機(jī)選派3人去參加甲聯(lián)歡項(xiàng)目,設(shè)ξ表示這3人中女生的人數(shù),求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.解析 (1)依題意知,這5個(gè)人中,每個(gè)人去參加甲聯(lián)歡項(xiàng)目的概率為,去參加乙聯(lián)歡項(xiàng)目的概率為.記“這5人中恰有3人去參加甲聯(lián)歡項(xiàng)目”為事件A,則P(A)=·=.(2)隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為1,2,3,P(ξ=k)=(k=1,2,3).所以ξ的分布列為ξ123PEξ=1×+2×+3×=.
