2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義,問題提出1.如何求作兩個(gè)非零向量的和向量、差向量？2.相同的幾個(gè)數(shù)相加可以轉(zhuǎn)化為數(shù)乘運(yùn)算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的幾個(gè)向量相加是否也能轉(zhuǎn)化為數(shù)乘運(yùn)算呢？這需要從理論上進(jìn)行探究.abaabba+ba-b,探究一：向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義思考1：已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）？aaOaaABC－a－a－aOMNPa＋a＋a（－a）＋（－a）＋（－a）,思考2：向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）分別如何簡化其表示形式？a＋a＋a記為3a，（－a）＋（－a）＋（－a）記為－3a.思考3：向量3a和－3a與向量a的大小和方向有什么關(guān)系？aaOaaABC－a－a－aOMNP,思考4：設(shè)a為非零向量，那么a和a還是向量嗎？它們分別與向量a有什么關(guān)系？aaa,思考5：一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記作λa，該向量的長度與方向與向量a有什么關(guān)系？（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0時(shí),λa與a方向相同；λ<0時(shí),λa與a方向相反；λ=0時(shí),λa=0.,思考6：如圖，設(shè)點(diǎn)M為△ABC的重心，D為BC的中點(diǎn)，那么向量與，與分別有什么關(guān)系？ABCDM,探究二:向量的數(shù)乘運(yùn)算性質(zhì)思考1：你認(rèn)為－2×（5a），2a＋2b，a可分別轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？-2×(5a)=-10a；2a＋2b=2(a+b)；(3＋)a=3a＋a.,思考2：一般地，設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則λ(μa)，(λ＋μ)a，λ(a＋b)分別等于什么？λ(μa)=(λμ)a；(λ＋μ)a=λa＋μa；λ(a＋b)=λa＋λb.,思考3：對于向量a（a≠0）和b，若存在實(shí)數(shù)λ，使b=λa，則向量a與b的方向有什么關(guān)系？思考4：若向量a（a≠0）與b共線，則一定存在實(shí)數(shù)λ，使b=λa成立嗎？思考5：綜上可得向量共線定理：向量a（a≠0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa.若a＝0，上述定理成立嗎？,思考6：若存在實(shí)數(shù)λ，使，則A、B、C三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？思考7：如圖，若P為AB的中點(diǎn)，則與、的關(guān)系如何？ABPO,思考8：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)λ、x、y，λ(xa±yb）可轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？λ(xa±yb）=λxa±λyb.,理論遷移例1計(jì)算（1）（－3）×4a；（2）3（a＋b）－2（a－b）－a；（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.,2b3babO例2如圖，已知任意兩個(gè)非零向量a，b，試作=a＋b，=a＋2b，=a＋3b.你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？abABC,例3如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)M，且=a，=b，試用a,b表示向量、、、MABDCab,小結(jié)作業(yè)1.實(shí)數(shù)與向量可以相乘，其積仍是向量，但實(shí)數(shù)與向量不能相加、相減.實(shí)數(shù)除以向量沒有意義，向量除以非零實(shí)數(shù)就是數(shù)乘向量.2.若λa=0，則可能有λ=0，也可能有a=0.3.向量的數(shù)乘運(yùn)算律，不是規(guī)定，而是可以證明的結(jié)論.向量共線定理是平面幾何中證明三點(diǎn)共線，直線平行，線段數(shù)量關(guān)系的理論依據(jù).,作業(yè)：P90練習(xí)：3，4，5，6.