2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì),復(fù)習(xí)兩個(gè)平面垂直的定義，判定什么是兩個(gè)平面互相垂直？?jī)蓚€(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．如何判定兩個(gè)平面互相垂直？第一種方法根據(jù)定義，判定兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角；第二種方法是根據(jù)判定定理，判定其中一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于另一個(gè)平面．,一、復(fù)習(xí)引入1、平面與平面垂直的定義2、平面與平面垂直的判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。符號(hào)表示：b兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。提出問(wèn)題：該命題正確嗎？,1.黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫(huà)一條直線與地面垂直?2.長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1與平面ABCD垂直，平面A1ADD1內(nèi)的直線A1A與平面ABCD垂直嗎?ADCBD1A1B1C1探索思考?,二、探索研究1.觀察實(shí)驗(yàn)觀察兩垂直平面中,一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面的有哪些位置關(guān)系?2.概括結(jié)論平面與平面垂直的性質(zhì)定理b兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.簡(jiǎn)述為：面面垂直線面垂直該命題正確嗎？符號(hào)表示：,bCADEB理論證明:,兩個(gè)平面垂直的結(jié)論:如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)．,3.知識(shí)應(yīng)用：練習(xí)：判斷正誤.已知平面α⊥平面β,α∩β＝l下列命題(2)垂直于交線l的直線必垂直于平面β（）(3)過(guò)平面α內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于平面β（）(1)平面α內(nèi)的任意一條直線必垂直于平面β（）√××,例：如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC，BOPAC(2)判斷平面PBC與平面PAC的位置關(guān)系。(1)判斷BC與平面PAC的位置關(guān)系，并證明；例題分析:,(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)∴BC⊥平面PAC(2)∵BC⊥平面PAC,又BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC例：如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC，(1)判斷BC與平面PAC的位置關(guān)系，并證明。(2)判斷平面PBC與平面PAC的位置關(guān)系。∴∠ACB=90°即BC⊥AC又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC,BC平面ABCBOPAC,2、本題充分地體現(xiàn)了面面垂直與線面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。1、面面垂直的性質(zhì)定理給我們提供了一種證明線面垂直的方法面面垂直線面垂直性質(zhì)定理判定定理解題反思:,abc1.如圖,已知平面，直線a滿足,試判斷直線a與平面的位置關(guān)系。解:在內(nèi)作垂直于與交線的直線b,因?yàn)?所以.因?yàn)?所以.又因?yàn)?所以.即直線a與平面平行鞏固提升:,Aαβ1、下列命題中錯(cuò)誤的是（）(A)如果平面⊥平面,那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面(B)如果平面⊥平面,那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面(C)如果平面不垂直于平面，則平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面(D)如果平面、都垂直于平面，且與交于直線a，則a⊥平面αβαββββαααββαα知識(shí)鞏固:,2、已知兩個(gè)平面垂直，下列命題①一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意直線；②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線；③一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線必垂直于另一個(gè)平面；④過(guò)一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)做交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面。其中正確命題的個(gè)數(shù)是()(A)3(B)2(C)1(D)0B知識(shí)鞏固:,例2.矩形ABCD中，AD=2,AB=1,現(xiàn)沿對(duì)角線AC折成直二面角D-AC-B，求折起后BD長(zhǎng)度.,要點(diǎn)一平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用在運(yùn)用面面垂直性質(zhì)定理時(shí)必須注意：(1)線在面內(nèi)；(2)線垂直于兩面的交線，由此才可以得出線面垂直．在應(yīng)用線面平行、垂直的判定和性質(zhì)定理證明有關(guān)問(wèn)題時(shí)，在善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的同時(shí)，還應(yīng)注意尋找線面平行、垂直所需的條件．例1如下圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，ABCD是∠DAB＝60°且邊長(zhǎng)為a的菱形．側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB.,分析：①ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形；②面PAD⊥面ABCD.解答本題可先由面⊥面得線⊥面，再進(jìn)一步得出線⊥線．證明：(1)連接PG，由題知△PAD為正三角形，G是AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.規(guī)律方法：證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，再一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理，本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理．,變式1如圖所示，α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB，CE、EF⊂α，∠FEC＝90°.求證：面EFD⊥面DCE.證明：∵α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α.又∵EF⊂α，∴CD⊥EF.又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC.又EC∩CD＝C，∴EF⊥面DCE.又EF⊂面EFD，∴面EFD⊥面DCE.,例2已知：如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．(1)求證：PA⊥平面ABC；(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，求證：△ABC是直角三角形．分析：由面面垂直向線面垂直轉(zhuǎn)化，一般要作一條垂直于交線的直線，才能應(yīng)用性質(zhì)定理．,證明：(1)在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，作DF⊥AC于F，∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，同理可證DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)連接BE并延長(zhǎng)交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH，又AE⊥平面PBC，故AE⊥PC，且AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，且PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．規(guī)律方法：已知兩個(gè)平面垂直時(shí)，過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)作交線的垂線，則由面面垂直的性質(zhì)定理可得此直線垂直于另一個(gè)平面，于是面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，由此得到結(jié)論：兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．證明(2)題的關(guān)鍵是要靈活利用(1)題的結(jié)論．,變式2如圖，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b.求證：α∥β.證明：如圖，在平面α內(nèi)作直線PQ⊥a，在平面β內(nèi)作直線MN⊥b，垂足分別為Q、N.∵α⊥γ，α∩γ＝a，∴PQ⊥γ.同理MN⊥γ.∴PQ∥MN.∵PQ⊄β，MN⊂β，∴PQ∥β.同理a∥β.∵PQ⊂α，a⊂α，PQ∩a＝Q，∴α∥β.,要點(diǎn)二線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用在關(guān)于垂直問(wèn)題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化，每一種垂直的判定都是從某一垂直開(kāi)始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：,例3如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點(diǎn)，過(guò)A、D、N三點(diǎn)的平面交PC于M，E為AD的中點(diǎn)．求證：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.,分析：(1)利用線面平行的判定定理證明，證EN∥DM.(2)先證AD⊥平面PEB，再由AD∥BC證明．(3)轉(zhuǎn)化為證明PB⊥平面ADMN.證明：(1)∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵BC∥AD，∴MN∥BC.又N是PB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)．,(2)∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠BAD＝60°∴BE⊥AD.又∵側(cè)面PAD是正三角形，且E為中點(diǎn)，∴PE⊥AD，∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.(3)由(2)知AD⊥平面PBE.又PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB.又∵PA＝AB，N為PB的中點(diǎn)，∴AN⊥PB.且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB⊂平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.規(guī)律方法:運(yùn)用平面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，一般需作輔助線，基本作法是過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，這樣把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直．,變式3如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，(1)求證：AD⊥PB；(2)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論．證明：(1)設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接PG，∵△PAD為正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.,(2)當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF⊥平面ABCD.取PC的中點(diǎn)F，連接DE、EF、DF，在△PBC中，F(xiàn)E∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E.∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.,1、平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。2、證明線面垂直的兩種方法：線線垂直→線面垂直；面面垂直→線面垂直3、線線、線面、面面之間的平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決空間圖形問(wèn)題的重要思想方法。三、課堂小結(jié)：