3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程,1.了解由直線方程的點(diǎn)斜式推導(dǎo)出兩點(diǎn)式方程及截距式方程.2.初步學(xué)會用直線方程的知識解決有關(guān)實(shí)際問題.教學(xué)目標(biāo):,一、復(fù)習(xí)回顧：前面我們學(xué)習(xí)了直線方程的哪些形式？垂直于坐標(biāo)軸的直線方程怎么表示？點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)斜截式：y=kx+b垂直于x軸的直線：x=x0垂直于y軸的直線：y=y0,思考：大家都知道：兩點(diǎn)確定一條直線！那么經(jīng)過兩個定點(diǎn)的直線的方程能否用“公式”直接寫出來呢？二、問題的提出：例如:已知兩個點(diǎn)的坐標(biāo)P(1,2),Q(3,5).(1)如何求出經(jīng)過P,Q兩點(diǎn)的直線的方程？(2)由此你還有直線方程的新發(fā)現(xiàn)嗎？,三、直線的兩點(diǎn)式方程設(shè)直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，則(1)直線l的斜率是什么？(2)你能寫出直線l的點(diǎn)斜式方程嗎？(1)斜率：(2)方程：寫成比例式可化為.,直線方程的兩點(diǎn)式:已知直線上兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2,y1≠y2），如何求出通過這兩點(diǎn)的直線方程呢？經(jīng)過直線上兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2,y1≠y2）的直線方程叫做直線的兩點(diǎn)式方程，簡稱兩點(diǎn)式。1、直線的兩點(diǎn)式方程:,垂直于x軸的直線：x=x0垂直于y軸的直線：y=y0說明:(1)這個方程由直線上兩點(diǎn)確定;(2)當(dāng)直線沒有斜率或斜率為0時,不能用兩點(diǎn)式求出它們的方程.(此時方程如何得到?),無法表示垂直坐標(biāo)軸的直線可以,2、中點(diǎn)坐標(biāo)公式:（1）已知x軸上兩點(diǎn)P1(x1，0)，P2(x2,0)，則線段P1P2的中點(diǎn)P0的坐標(biāo)是什么？（2）已知y軸上兩點(diǎn)P1(0,y1)，P2(0,y2)，則線段P1P2的中點(diǎn)P0的坐標(biāo)是什么？,（3）已知兩點(diǎn)P1(0,y)，P2(x,0)，則線段P1P2的中點(diǎn)P0的坐標(biāo)是什么？（4）已知兩點(diǎn)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)則線段P1P2的中點(diǎn)P0的坐標(biāo)是什么？,例4、三角形的頂點(diǎn)是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求BC邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程.xyO.M四、例題分析:B.A..C,四、例題分析:例3、已知直線l與x軸的交點(diǎn)為A(a,0),與y軸的交點(diǎn)為B(0,b),其中a≠0,b≠0,求這條直線l的方程.說明(1)直線與x軸的交點(diǎn)(a,0)的橫坐標(biāo)a叫做直線在x軸的截距，此時直線在y軸的截距是b;xlBAOy(3)截距式適用于橫、縱截距都存在且都不為0的直線.(2)這個方程由直線在x軸和y軸的截距確定,所以叫做直線方程的截距式方程;,3、直線的截距式方程：（1）當(dāng)x1=x2時,直線l的方程是（2）當(dāng)y1=y2時,直線l的方程是（3）若兩點(diǎn)是直線l與x軸的交點(diǎn)A(a,0),和與y軸的交點(diǎn)B(0,b),其中a≠0,b≠0,則直線l的方程是怎樣的？定義：設(shè)直線l與x軸、y軸的交點(diǎn)分別是(a,0),(0,b)，則a、b分別叫做直線在x、y軸上的截距.叫做直線的截距式方程.x=x1y=y1,無法表示垂直坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線3、直線的截距式方程：,練習(xí):B,例5求經(jīng)過點(diǎn)P(2，4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.例6求經(jīng)過點(diǎn)P(0，5)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2的直線方程.,2、已知兩點(diǎn)A(-3,4),B(3,2),過點(diǎn)P(2,-1)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).求直線l的斜率k的取值范圍.練習(xí):,五、小結(jié)：直線方程名稱直線方程形式適用范圍點(diǎn)斜式斜截式兩點(diǎn)式截距式不垂直x軸y=kx+b不垂直x軸不垂直兩個坐標(biāo)軸不垂直兩個坐標(biāo)軸且不經(jīng)過原點(diǎn),例1:已知三角形的三個頂點(diǎn)A(-2,2),B(3,2),C(3,0),求這個三角形的三邊所在直線的方程以及AC邊上的高線所在直線的方程.分析:求直線的方程時要選好方程的形式,要注意方程的適用范圍.題型一直線的兩點(diǎn)式方程解:如右圖,直線AC過點(diǎn)A(-2,2),C(3,0),由直線的兩點(diǎn)式方程得整理可得2x+5y-6=0,這就是所求直線AC的方程.直線AB經(jīng)過A(-2,2),B(3,2),由于其縱坐標(biāo)相等,可知其方程為y=2,這就是所求直線AB的方程.,直線BC經(jīng)過B(3,2),C(3,0),由于其橫坐標(biāo)相等,可知其方程為x=3,這就是所求直線BC的方程.由于A(-2,2),C(3,0),∴kAC=由AC邊上的高線與AC垂直,設(shè)其斜率為k,則k•kAC=-1,得根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程,得y-2=(x-3),即5x-2y-11=0,這就是所求的AC邊上的高線所在直線的方程.規(guī)律技巧:當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行或重合時,不能用兩點(diǎn)式,應(yīng)作特殊處理.,變式訓(xùn)練1:已知兩點(diǎn)A(3,2),B(8,12).(1)求出直線AB的方程;(2)若點(diǎn)C(-2,a)在直線AB上,求實(shí)數(shù)a的值.解:(1)由直線的兩點(diǎn)式方程得即為2x-y-4=0,這就是直線AB的方程.(2)∵點(diǎn)C(-2,a)在直線AB上,∴2×(-2)-a-4=0.∴a=-8.,例2:直線l過點(diǎn)P(-6，3)，且它在x軸上的截距是它在y軸上截距的3倍，求直線l的方程.分析:設(shè)直線l在y軸上的截距為b,則在x軸上的截距為3b.因?yàn)榻鼐嗫烧?可負(fù),可為零,所以應(yīng)分b=0和b≠0兩種情況解答.題型二直線的截距式方程解:(1)當(dāng)直線在y軸上的截距為零時,直線過原點(diǎn),可設(shè)直線l的方程為y=kx,∵直線l過點(diǎn)P(-6,3).∴3=-6k,k=-.∴直線l的方程為y=-x,即x+2y=0.,(2)當(dāng)直線在y軸上的截距不為零時,由題意可設(shè)直線l的方程為又直線l過點(diǎn)P(-6,3),∴,解得b=1.∴直線l的方程為+y=1.即x+3y-3=0.綜上所述,所求直線l的方程為x+2y=0或x+3y-3=0.,變式訓(xùn)練2:根據(jù)條件,求下列各題中直線的截距式方程.(1)在x軸上的截距為-3,在y軸上的截距為2;(2)在x軸上的截距為1,在y軸上的截距為-4.,例3:求與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為9,且斜率為-2的直線方程.分析:依題意知,截距不為0,故可設(shè)出直線的截距式方程,利用待定系數(shù)法求解.題型三直線方程的應(yīng)用規(guī)律技巧:求直線方程關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式,由于本題涉及到直線在兩坐標(biāo)上的截距,因此設(shè)出了直線的截距式方程.,變式訓(xùn)練3:求與兩坐標(biāo)圍成的三角形面積為32,且斜率為-4的直線l的方程.,例4:已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(3,-2),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求直線l的方程.錯解:錯解1:由于直線l的截距相等,故直線l的斜率為±1.若k=1,則直線方程為:y+2=x-3,即為x-y-5=0;若k=-1,則直線方程為:y+2=-(x-3),即為x+y-1=0.易錯探究,錯解2:由題意,直線在兩軸上的截距相等,可設(shè)直線的方程為:由于直線過點(diǎn)(3,-2),則有所以a=1.即所求的方程為x+y-1=0.錯因分析:在上述兩種錯解中,錯解1忽視了截距的意義,截距不是距離,它可正可負(fù),也可以為0.當(dāng)k=1時,直線x-y-5=0在兩軸上的截距分別為5和-5,它們是不相等的.另外,這種解法還漏掉了直線在兩軸上的截距均為0時的特殊情形;錯解2中,沒有注意到截距式方程的適用范圍,同樣也產(chǎn)生了漏解.,正解:解法1:依題意,直線l的斜率存在且不為0,設(shè)其斜率為k,則可得直線的方程為:y+2=k(x-3).令x=0,得y=-2-3k;令y=0,得由題意得-2-3k=3+解得k=-1,或k=所以l的方程為:y+2=-(x-3),或y+2=(x-3).即為x+y-1=0,或2x+3y=0.,解法2:設(shè)直線l在兩軸上的截距均為a.(1)若a=0,則直線l過原點(diǎn),此時l的方程為:2x+3y=0;(2)若a≠0,則l的方程可設(shè)為:因?yàn)閘過點(diǎn)(3,-2),知=1,即a=1.所以直線l的方程為x+y=1,即為x+y-1=0.綜合(1)?(2)可知:直線l的方程為2x+3y=0,或x+y-1=0.,基礎(chǔ)強(qiáng)化:1.過兩點(diǎn)(2,5),(2,-5)的直線方程是()A.x=5B.y=2C.x=2D.x+y=2C2.在x,y軸上截距分別為4,-3的直線方程是()A,3.過(x1,y1)和(x2,y2)兩點(diǎn)的直線方程是()C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0C4.直線ax+by=1與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是()D,x=3y=-26.過(3,0)點(diǎn)與x軸垂直的直線方程為_______,縱截距為-2且與y軸垂直的直線方程為________.5.直線ax-y+a=0(a≠0)在兩坐標(biāo)軸上截距之和是()A.a-1B.1-aC.a+1D.解析:令x=0,得y=a.令y=0,得x=-1,故直線在兩坐標(biāo)軸上截距之和為a-1.A7.過(5,7)及(1,3)兩點(diǎn)的直線方程為__________,若點(diǎn)(a,12)在此直線上,則a=__________.解析:過點(diǎn)(5,7)及(1,3)兩點(diǎn)的直線方程為即x-y+2=0.∵點(diǎn)(a,12)在x-y+2=0上,∴a-12+2=0.∴a=10.x-y+2=010,8.已知直線l的斜率為6，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為10，求此直線l的方程.解法1:設(shè)直線方程為y=6x+b,令x=0,得y=b,令y=0得由題意=10.∴b=12.所以所求直線方程為6x-y+12=0.,能力提升:9.求斜率為且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長為12的直線l的方程.,10.已知直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為3,且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為5,求這樣的直線有幾條?,12.(上海)已知直線l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,則k的值是()A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2解析:當(dāng)k=3時,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0.顯然平行;驗(yàn)證當(dāng)k=1時,l1:-2x+3y+1=0,l2:-4x-2y+3=0,顯然不平行.因此,選C.11.(安徽文4)過點(diǎn)(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程為()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0解析:所求直線可設(shè)為x-2y+c=0.∵過點(diǎn)(1,0),∴1+c=0,∴c=-1.∴所求直線為x-2y-1=0.AC,課堂小結(jié):1.兩點(diǎn)式、截距式、中點(diǎn)坐標(biāo).2.到目前為止，我們所學(xué)過的直線方程的表達(dá)形式有多少種？它們之間有什么關(guān)系？3.要求一條直線的方程，必須知道多少個條件？,課后作業(yè):1.閱讀教材P.95到P.97；2.課堂練習(xí)：P971、2、3課外作業(yè)：P100習(xí)題3.2A組6、7、8、9B組1做書上