09利用導數(shù)解決零點問題【2022屆新高考一模試題分類匯編】一、解答題1．（2022·安徽·六安一中高二開學考試）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)當時，求在上的最小值；(3)當時，求函數(shù)在上零點的個數(shù).【解析】(1)當時，，，，，所以切線方程為.(2)，當時，，當，即時，在上恒成立，故在是單調遞減，當時，令，得，令，得，故在上遞減，在上單調遞增，，綜上，時，，時，(3)由題設得，故，設，則，（i）當時，，即在上遞減，又，，且的圖像連續(xù)，故在上唯一零點，當時，，當時，，故在內單調遞增，在上單調遞減，又，，故，又的圖像連續(xù)不斷，故存在，使得，即此時有1個零點.（ii）當時，，在內遞減，又，，的圖像連續(xù)不斷，故存在一個，使得；（ⅲ）當時，，，故，從而在上沒有零點，綜上，在試卷第11頁，共11頁學科網（北京）股份有限公司,上有2個零點.2．（2022·河南·夏邑第一高級中學高二期末（文））已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調性；(2)討論函數(shù)的零點個數(shù).【解析】(1)函數(shù)的定義域為，.當時，恒成立，所以在上單調遞減；當時，令，得，令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增.(2)令，得.令，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.所以；當時，，當時，，所以，所以函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可得，當時，直線與函數(shù)的圖象沒有交點，函數(shù)沒有零點；當或時，直線與函數(shù)的圖象有1個交點，函數(shù)有1個零點；當時，直線與函數(shù)的圖象有2個交點，函數(shù)有2個零點.試卷第11頁，共11頁學科網（北京）股份有限公司,3．（2022·安徽·蒙城縣第六中學高三開學考試（理））已知函數(shù).(1)若，求證：恒成立；(2)當時，求零點的個數(shù).【解析】(1)當時，，，當時，；當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以的最小值是，即恒成立.(2)因為，所以.①當時，.所以在上單調遞減.因為，所以有且僅有一個零點.②當時，令，得，令，得.所以在上單調遞減，在上單調遞增.因為，所以在上有且僅有一個零點.因為，，且，所以，使得.所以在上有且僅有一個零點.綜合以上知，當時，有兩個零點.③當時，.令，得，令，得.所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以當時，取得最小值，且.所以有且僅有一個零點.綜上所述，當或時，有且僅有一個零點；當時，有兩個零點.4．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)（其中，為參數(shù)）.試卷第11頁，共11頁學科網（北京）股份有限公司,(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若，函數(shù)有且僅有2個零點，求的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)的定義域為，對求導得.當時，，所以在上單調遞增；當時，令，解得，令，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增.(2)當時，，.令，則（舍去），令，則，所以在上單調遞增.又，，且函數(shù)在上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，所以根據零點存在性定理，存在唯一，使得，并且當時，，當時，，所以當時，，函數(shù)單調遞減；當時，函數(shù)單調遞增，所以.因為函數(shù)有且只有2個零點，所以必須有，即.下面證明當時，函數(shù)有且只有2個零點.因為，，且在上單調遞增且連續(xù)，所以在上有且只有1個零點.因為，令，則.因為，所以，，顯然在上單調遞增，所以，又，所以在上有且只有1個零點.綜上，.5．（2022·全國·高三階段練習（文））已知函數(shù).試卷第11頁，共11頁學科網（北京）股份有限公司,(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)若有三個不同的零點，求a的取值范圍.【解析】(1)當時，，，當x<1時，；當x>1時，，在上單調遞減，在上單調遞增.(2)由有三個不同的零點，有三個不同的根，又不是方程的根，有三個不同的根，令，，即與有三個不同的交點，，在和上單調遞減，在上單調遞增，且當時，，當時，，的極小值為，又為過點的直線，斜率為，由與有三個不同的交點，且，直線的斜率，，即a的取值范圍為.6．（2022·天津紅橋·高二期末）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，．(1)求單調區(qū)間；(2)若且對任意，都有，證明：方程有且只有兩個實根．(1)定義域為，因為，若，，所以單調遞減區(qū)間為，若，,當時，，當時，，所以單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為．(2)證明：若且對任意，都有，則在處取得最小值，由（1）得在取得最小值，得，令，則單調性相同，試卷第11頁，共11頁學科網（北京）股份有限公司,單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，且，，，所以在(1e2，1)和上各有且僅有一個零點，所以在和各有且僅有一個零點，即方程有且只有兩個實根．7．（2021·廣東·福田外國語高中高三階段練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；(2)若函數(shù)的圖象與直線僅有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)，易得當或時，，當時，，∴函數(shù)的增區(qū)間是：，，減區(qū)間是：，當時函數(shù)取得極大值，當時，函數(shù)取得極小值；(2)畫出函數(shù)圖像，由圖形知，當或時，與只有一個交點．故的范圍或．8．（2021·吉林·東北師大附中模擬預測（理））已知函數(shù)在處的切線方程是．(1)求a，b的值；(2)若對于，曲線與曲線都有唯一的公共點，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)將切點坐標代入的，即，得，又因為試卷第11頁，共11頁學科網（北京）股份有限公司,，直線的斜率為所以，得(2)由（1）知，因為曲線與曲線有唯一的公共點，所以方程有唯一解，即令，則，則即，當，時，，函數(shù)單調遞增，易知與有且只有一個交點，滿足題意；當，時，有兩個根，且兩根之和為，兩根之積為，所以兩根一個大于4，一個小于4，此時，函數(shù)先增后減再增，存在一個極大值和一個極小值，要使有唯一實數(shù)根，則大于極大值或小于極小值.記為極大值點，則，則恒成立，又，即則極大值因為，令得，又時，綜上，要使對，曲線與曲線都有唯一的公共點，則，即；當為極小值點，則，則，又，所以恒成立，又，所以時，，所以單減，無最小值，所以不存在，使得恒成立，所以，的取值范圍為9．（2022·廣東高州·二模）已知函數(shù)．其中實數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調性；(2)求證：關于x的方程有唯一實數(shù)解．試卷第11頁，共11頁學科網（北京）股份有限公司,【解析】（1）函數(shù)，則，當時，當時，恒成立，所以在上單調遞增；當時，令，解得或，當或時，，則單調遞增，當時，,則單調遞減，所以在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，令，解得或，當或時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減，所以在，上單調遞增，在單調遞減.綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在，上單調遞增，在單調遞減.(2)證明由，得，令，則，當時，，故函數(shù)在上單調遞增.，，故時，恰有1個零點.當時，令，則在上單調遞增，因為，，令，可得時，單調遞增，所以，故，則存在唯一的實數(shù)，使得，即，故在，上單調遞增，在上單調遞減，因為，試卷第11頁，共11頁學科網（北京）股份有限公司,，故當時，函數(shù)恰有1個零點.當時，，在上單調遞增，又因為，，所以存在唯一實數(shù)，使得，即，故在，上單調遞增，在上單調遞減，因為，，故當時，函數(shù)只有個零點.當時，，由，解得，所以，令，，，故在上單調遞增，，，當時，函數(shù)無零點.因此，當時，函數(shù)只有一個零點.即證當時，關于x的方程有唯一實數(shù)解10．（2022·江西·南昌大學附屬中學高二期末（理））已知函數(shù).(1)討論的單調性；(2)當時，求函數(shù)在內的零點個數(shù).【解析】(1)以為，其定義域為，又，故當時，，在單調遞增；試卷第11頁，共11頁學科網（北京）股份有限公司,當時，令，可得，且令，解得，令，解得，故在單調遞增，在單調遞減.綜上所述：當，在單調遞增；當，在單調遞增，在單調遞減.(2)因為，故可得，則，；下證恒成立，令，則，故在單調遞減，又當時，，故在恒成立，即；因為，故，令，下證在恒成立，要證恒成立，即證，又，故即證，令，則，令，解得，此時該函數(shù)單調遞增，令，解得，此時該函數(shù)單調遞減，又當時，，也即；令，則，令，解得，此時該函數(shù)單調遞減，令，解得，此時該函數(shù)單調遞增，又當時，，也即；又，故恒成立，試卷第11頁，共11頁學科網（北京）股份有限公司,則在恒成立，又，故當時，恒成立，則在上的零點個數(shù)是.試卷第11頁，共11頁學科網（北京）股份有限公司