第一課直線與平面垂直的判定（一）教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能（1）使學(xué)生掌握直線和平面垂直的定義及判定定理；（2）使學(xué)生掌握直線和平面所成的角求法；（3）培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會歸納、概括結(jié)論2．過程與方法（1）通過教學(xué)活動，使學(xué)生了解，感受直線和平面垂直的定義的形成過程；（2）探究判定直線與平面垂直的方法3．情態(tài)、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會從“感性認(rèn)識”到“理性認(rèn)識”過程中獲取新知（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：（1）直線與平面垂直的定義和判定定理；（2）直線和平面所成的角難點(diǎn)：直線與平面垂直判定定理的探究教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計(jì)意圖,新課導(dǎo)入問題：直線和平面平行的判定方法有幾種？師投影問題，學(xué)生回答生：可用定義可判斷，也可依判定定理判斷復(fù)習(xí)鞏固探索新知一、直線和平面垂直的定義、畫法如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說直線l與平面互相垂直，記作l⊥直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面直線與平面垂直時，它們惟一的公共點(diǎn)P叫做垂足畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表不平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖師：日常生活中我們對直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識，如旗桿與地面，橋柱與水面等，你能舉出更多的例子來嗎？師：在陽光下觀察，直立于地面的旗桿及它在地面的影子，它們的位置關(guān)系如何？生：旗桿與地面內(nèi)任意一條經(jīng)B的直線垂直師：那么旗桿所在直線與平面內(nèi)不經(jīng)過B點(diǎn)的直線位置關(guān)系如何，依據(jù)是什么？（圖）生：垂直，依據(jù)是異面直線垂直的定義培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力使他們在直觀感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會歸納概括結(jié)論,師：你能嘗試給線面垂直下定義嗎？……師：能否將任意直線改為無數(shù)條直線？學(xué)生找一反例說明探索新知二、直線和平面垂直的判定1．試驗(yàn)如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？2．直線與平面垂直的判定定理：師：下面請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的小紙片，我們一起來做一個實(shí)驗(yàn)，（投影問題）學(xué)生動手實(shí)驗(yàn)，然后回答問題生：當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面垂直師：此時AD垂直上的一條直線還是兩條直線？生：AD垂直于桌面兩條直線，而且這兩條直線相交師：怎么證明？培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力使他們在直觀感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會歸納概括結(jié)論,一條直線與一個平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直思考：能否將直線與平面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”改為一條直線或兩條平行直線？生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系不變，即AD⊥CD，AD⊥BD……師：直線和平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想典例剖析例1如圖，已知a∥b，a⊥，求證：b⊥證明：在平面內(nèi)作兩條相交直線m、n因?yàn)橹本€a⊥，根據(jù)直線與平面垂直的定義知a⊥m，a⊥n又因?yàn)閎∥a，所以b⊥m，b⊥n又因?yàn)椋琺、n是兩條相交直線，b⊥師：要證b⊥，需證b與內(nèi)任意一條直線的垂直，又a∥b，問題轉(zhuǎn)化為a與面內(nèi)任意直線m垂直，這個結(jié)論顯然成立學(xué)生依圖及分析寫出證明過程……師：此結(jié)論可以直接利用，判定直線和平面垂直鞏固所知識培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸能力、書寫表達(dá)能力,探索新知二、直線和平面所成的角如圖，一條直線PA和一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線的平面的交點(diǎn)A叫做斜足過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°的角教師借助多媒體直接講授，注意直線和平面所成的角是分三種情況定義的借助多媒體講授，提高上課效率典例剖析例2,如圖，在正方體ABCD–A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角分析：找出直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角解：連結(jié)BC1交B1C于點(diǎn)O，連結(jié)A1O設(shè)正方體的棱長為a，因?yàn)锳1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1所以A1B1⊥BC1又因?yàn)锽C1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角在Rt△A1BO中，師：此題A1是斜足，要求直線A1B與平面A1B1CD所成的角，關(guān)鍵在于過B點(diǎn)作出（找到，面A1B1CD的垂線，作出（找到）了面A1B1CD的垂線，直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影就知道了，怎樣過B作平面A1B1CD的垂線呢？生：連結(jié)BC1即可師：能證明嗎？學(xué)生分析，教師板書，共同完成求解過程點(diǎn)拔關(guān)鍵點(diǎn)，突破難點(diǎn)，示范書寫及解題步驟,，，所以，∠BA1O=30°因此，直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°隨堂練習(xí)1．如圖，在三棱錐V–ABC中，VA=VC，AB=BC，求證：VB⊥AC2．過△ABC所在平面外一點(diǎn)P，作PO⊥，垂足為O，連接PA ，PB，PC（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，則點(diǎn)O是AB邊的心（2）若PA=PB學(xué)生獨(dú)立完成答案：1．略2．（1）AB邊的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)O是△ABC的外心；（3）點(diǎn)O是△ABC的垂心3．不一定平行4．AC⊥BD鞏固所學(xué)知識,=PC，則點(diǎn)O是△ABC的心（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PB⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的心3．兩條直線和一個平面所成的角相等，這兩條直線一定平行嗎？4．如圖，直四棱柱A′B′C′D′–ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，A′C⊥B′D′？歸納總結(jié)1．直線和平面垂直的定義判定2．直線和平面所成的角定義與解答步驟、完善3．線線垂直線面垂直學(xué)生歸納總結(jié)教師補(bǔ)充,鞏固學(xué)習(xí)成果，使學(xué)生逐步養(yǎng)成愛總結(jié)，會總結(jié)的習(xí)慣和能力課后作業(yè)27第一課時習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成強(qiáng)化知識提升能力備選例題例1如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M為BD中點(diǎn)，作AO⊥MC，交MC于O．求證：AO⊥平面BCD．【解析】連結(jié)AM∵AB=AD，CB=CD，M為BD中點(diǎn)．∴BD⊥AM，BD⊥CM．又AM∩CM=M，∴BD⊥平面ACM．≠≠∵AO平面ACM，∴BD⊥AO．又MC⊥AO，BD∩MC=M，∴AO⊥平面貌BCD．【評析】本題為了證明AO⊥平面BCD，先證明了平面BCD內(nèi)的直線垂直于AO所在的平面．這一方法具有典型性，即為了證明線與面的垂直，需要轉(zhuǎn)化為線與線的垂直；為了解決線與線的垂直，又需轉(zhuǎn)化為另一個線與面的垂直，再化為新的線線垂直．這樣互相轉(zhuǎn)化，螺旋式往復(fù)，最終使問題得到解決．例2已知棱長為1的正方體ABCD–,A1B1C1D1中，E是A1B1的中點(diǎn)，求直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值．【解析】取CD的中點(diǎn)F，連接EF交平面ABC1D1于O，連AO．由已知正方體，易知EO⊥ABC1D1，所以∠EAO為所求．在Rt△EOA中，，，sin∠EAO=．所以直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值為．【評析】求直線和平面所成角的步驟：（1）作——作出斜線和平面所成的角；（2）證——證明所作或找到的角就是所求的角；（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角形）（4）答．