哈爾濱市第一中學(xué)校2021-2022學(xué)年度上學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)（理）試卷考試時(shí)間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷選擇題（60分）一、選擇題：（本題共12小題，共60分，只有一項(xiàng)符合題目要求，每小題5分）1．已知集合，，則等于（）A．B．C．D．2．已知命題，則是（）A．B．C．D．3．“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．一些二次曲面常常用于現(xiàn)代建筑的設(shè)計(jì)中，常用的二次曲面有球面?橢球面?單葉雙曲面和雙曲拋物面?比如，中心在原點(diǎn)的橢球面的方程為，中國(guó)國(guó)家大劇院就用到了橢球面的形狀(如圖)，若某建筑準(zhǔn)備采用半橢球面設(shè)計(jì)(如圖)，半橢球面方程為，該建筑設(shè)計(jì)圖紙的比例(長(zhǎng)度比)為(單位：)，則該建筑的占地面積為（） A．B．C．D．5．已知向量，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．若，則的值為B．的最小值為1C．若，則的值為2D．若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是且6．如果函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么的最小值為（）A．B．C．D．7．如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，正確的命題是A．AB與CF成60°角B．BD與EF成60°角C．AB與CD成60°D．AB與EF成60°角8．已知數(shù)列滿足，則（）A.B.C.D. 9．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A．B．C．D．10．函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C．D．11．已知，則（）A．B．C．D．12．函數(shù)對(duì)任意都有成立，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，則（）A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷非選擇題（90分）二、填空題（共20分，每題5分，請(qǐng)把答案寫到答題卡的相應(yīng)位置。）13．已知函數(shù)的圖象恒過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)在角的終邊上，則____________.14．已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________. 15．若等差數(shù)列滿足，，則當(dāng)___時(shí)，的前項(xiàng)和最大．16．半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的所有棱長(zhǎng)都為，則正確的是①⊥平面②該二十四等邊體的體積為③該二十四等邊體外接球的表面積為8π④與平面所成角的正弦值為三、解答題（本題共6小題，共70分，17-21每題12分，22題10分）17．（本小題滿分12分）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，，（1）若，求；（2）求的最大值，以及此時(shí)的內(nèi)角.18.（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，是公差不為0的等差數(shù)列，，是與的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； （2）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（本小題滿分12分）在核酸檢測(cè)中,“合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這個(gè)人都沒(méi)有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確（I）將這100人隨機(jī)平均分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);(II）將這100人隨機(jī)平均分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).試求兩名感染者在同一組的概率20．（本小題滿分12分）木工技藝是我國(guó)傳統(tǒng)文化瑰寶之一，體現(xiàn)了勞動(dòng)人民的無(wú)窮智慧.很多古代建筑和家具保存到現(xiàn)代依然牢固，這其中，有連接加固功能的“楔子”發(fā)揮了重要作用.如圖，楔子狀五面體的底面為一個(gè)矩形，，，平面，棱，設(shè)，分別是，的中點(diǎn).（1）證明：，，，四點(diǎn)共面，且平面平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.21．（本小題滿分12分）已知函數(shù). （1）若曲線在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求.（2）已知，證明：當(dāng)時(shí)，.22．（本小題滿分10分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）求上的點(diǎn)到距離的最小值．高三數(shù)學(xué)（理）試卷答案一、選擇題:題號(hào)123456789101112答案ACADAACDCBDD二、填空題:13.14.15.816.②③④三、解答題17.（1），在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，而，則，因，利用正弦定理得：，而，即角B為銳角，因此，，所以；（2）由(1)知，在中，，由正弦定理得：，則， 而，則，于是得當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以的最大值是，此時(shí).18.19.【答案】（1）①次；（1）①對(duì)每組進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；再對(duì)結(jié)果為陽(yáng)性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；所以總檢測(cè)次數(shù)為20次；（2）由題意，兩名感染者在同一組的概率為，20.（1）因?yàn)槠矫?，且平面?又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又由，是矩形兩邊，的中點(diǎn)，所以，，所以，，，四點(diǎn)共面，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，而平面，平面，且，所以平面，又平面，所以平面平?（2）在平面內(nèi)過(guò)作于，平面由（1）知平面平面，平面平面，所以平面，又因?yàn)?，，則二面角的平面角為，所以，在直角和直角中，，且，所以，過(guò)作邊的垂線交，于點(diǎn)，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，得，取法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值. 21.（1）因?yàn)椋郧€在處的切線斜率為，又，所以，整理得，即.（2）證明：設(shè)函數(shù)，則，設(shè)函數(shù)，則.顯然在為增函數(shù)因?yàn)?，所以，所以?duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，從而.因?yàn)?，所以，則，從而對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以，從而.22.（1）由，，得可化為，所以的直角坐標(biāo)方程為．可化為，所以的直角坐標(biāo)方程為． （2）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)上點(diǎn)的坐標(biāo)為則上的點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且．