絕密★啟用前2022年1月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)仿真模擬試卷A滿分100分，考試時(shí)間80分鐘一、選擇題(本大題共18小題，每小題3分，共54分。每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分。)1．已知集合，那么（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用交集的定義即可求得.【詳解】因?yàn)榧希?故選：D2．函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)解析式有意義可得關(guān)于的不等式組，其解集為函數(shù)的定義域.【詳解】由解析式有意義可得，故，故函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬x：D.3．下列等式成立的是（） A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則逐一判斷可得選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：，故A不正確；對(duì)于B：，故B不正確；對(duì)于C：∵,∴，故C正確，對(duì)于D：，故D不正確，故選：C.4．直線截圓所得的弦長(zhǎng)是（）A．2B．C．D．1【答案】C【分析】先求出圓心到直線的距離，進(jìn)而利用勾股定理求出弦長(zhǎng).【詳解】圓心（0,0）到直線的距離，因?yàn)閳A的半徑為1，則弦長(zhǎng)為.故選：C.5．某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：）是（） A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)三視圖可知該幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐，由此可算出體積．【詳解】解：根據(jù)三視圖可知該幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐，∴其體積為，故答案為：．6．不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】A 【分析】移項(xiàng)、通分，再根據(jù)符號(hào)即可得結(jié)果.【詳解】所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查解分式不等式，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.7．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則（）A．有最小值，無最大值B．有最小值，也有最大值C．有最大值，無最小值D．無最大值，也無最小值【答案】C【分析】由題設(shè)畫出線性可行域，結(jié)合的幾何意義判斷是否有最值.【詳解】由題設(shè)，可得如下可行域，∴表示直線與可行域有交點(diǎn)時(shí)，與x軸的截距，故當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與x-y+1=0交于x軸時(shí)，有最大值，而無最小值.故選：C 8．若直線與直線垂直，則（）A．或B．C．或D．【答案】B【分析】由兩直線垂直的等價(jià)條件列方程即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得：，故選：B.9．在中，角，，的對(duì)邊分別是，，．已知，，，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)，，，利用正弦定理求解.【詳解】在中，因?yàn)?，，，由正弦定理得：，所以，故選：B10．已知平面，直線，m，且有，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則．其中命題正確的有（）個(gè)A．0B．1C．2D．3【答案】A【分析】利用直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系即可判斷. 【詳解】對(duì)于①由，，得不出，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，得不出，故錯(cuò)誤；對(duì)于③，，得不出，故錯(cuò)誤，故選：A11．已知命題，命題，則是成立的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合基本不等式即可得出結(jié)論．【詳解】解：，則，，，，由，但，時(shí)，命題成立，如時(shí)，，由推不出，是成立充分不必要條件，故選：A．12．函數(shù)的圖象大致為（） A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，先判斷函數(shù)的奇偶性，排除，再求出、的值，排除，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，，其定義域?yàn)?，有，即函?shù)為奇函數(shù)，排除，又由，，所以，有，函數(shù)在不會(huì)是減函數(shù)，排除，故選：．13．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，，且，若數(shù)列單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A．B．C．D． 【答案】C【分析】利用遞推公式再推出一個(gè)遞推公式，兩個(gè)遞推公式相減，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因此有，得：，說明該數(shù)列從第2項(xiàng)起，偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)都成等差數(shù)列，且它們的公差都是2，由可得：，因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以有，即，解得：，故選：C14．在長(zhǎng)方體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，異面直線與所成角的大小為，則該長(zhǎng)方體的表面積與體積的比值是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)異面直線所成的角，求長(zhǎng)方體的高，再求體積和表面積.【詳解】設(shè)，連結(jié)，則，，，異面直線與所成角是，，解得：，所以長(zhǎng)方體的表面積，體積,所以該長(zhǎng)方體的表面積與體積的比值. 故選：D15．若平面上有A，B，C，D四點(diǎn)，且滿足任意三點(diǎn)不共線，現(xiàn)已知，則=（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】由向量的線性關(guān)系，結(jié)合平行四邊形圖像，由和同底，高之必就是面積之比，即可得解.【詳解】令，，根據(jù)向量的加法的平行四邊形法則，作出如圖所示平行四邊形，作于，于，由，所以，所以，故選：D 16．已知函數(shù)，函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，令，則方程解的個(gè)數(shù)為（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】首先利用圖象關(guān)于對(duì)稱,求出解析式，可化為，求函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后分、、分別討論即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，所以，所以的圖象如圖所示：方程可化為，即求函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).當(dāng)時(shí)，的圖象恒過點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與的圖象有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)斜率為的直線與的切點(diǎn)為，由斜率，所以，所以切點(diǎn)為，此時(shí)直線方程為，即，所以直線 與恰好相切，有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：綜上，此方程有4個(gè)解.故選：C.17．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點(diǎn)，．若過點(diǎn)的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由切線的性質(zhì)，可得，，再結(jié)合橢圓定義，即得解【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)的直線圓的切線，，，所以．由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率．故選：A 18．如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，證明出平面，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，且，求出的最大值，利用空間向量法可求得的最大值.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，，為的中點(diǎn)，則，，則，，同理可得，，，平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)?，所以，為等邊三角形，故為的中點(diǎn)，平面，平面，則，，，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，則、、、，由于點(diǎn)在平面內(nèi)，可設(shè)，其中，且，從而，因?yàn)?，則，所以，，故當(dāng)時(shí)，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.二、填空題(本大題共4小題，每空3分，共15分。) 19．在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d＝，an＝3，Sn＝，則a1＝________，n＝________.【答案】23【分析】根據(jù)所給條件，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程即可得解.【詳解】由得n2－13n＋30＝0，∴n＝3或n＝10.又當(dāng)n＝3時(shí)，a1＝2>0；當(dāng)n＝10時(shí)，a1＝<0，不合題意，舍去，故a1＝2，n＝3.故答案為：2；3.20．已知非零向量滿足，則與的夾角為__________.【答案】【分析】直接把兩邊同時(shí)平方化簡(jiǎn)即得解.【詳解】因?yàn)椋?，所?所以與的夾角為.故答案為：21．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與的 左右兩支分別交于點(diǎn)，，若是以為直角的等腰直角三角形，則的離心率為____________.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)是以為直角的等腰直角三角形，結(jié)合雙曲線的定義，由，求得t，過作的垂線，垂足為，然后在中利用勾股定理求解.【詳解】如圖：設(shè)直線的斜率大于0，，則.由雙曲線的定義知，，所以，所以.過作的垂線，垂足為，則，則.在中，，整理得，所以. 故答案為：22．已知函數(shù)，，若對(duì)，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【分析】根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性求解即可.【詳解】因?yàn)槿魧?duì)，，使得，所以，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以，因?yàn)?，，所以所以，即所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了存在性問題與任意性問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.三、解答題(本大題共3小題，共31分。)23．(本題10分)已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域.【答案】（1），（2）【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)變形得，然后由 可求出函數(shù)的遞增區(qū)間，（2）由（1）可得，由得，從而可求得函數(shù)的值域【詳解】（1），，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）由（1）得，由，得，所以，即，所以，所以的值域?yàn)?4．(本題10分)如圖，已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且(為坐標(biāo)原點(diǎn))，記，的面積分別為. （1）求拋物線的方程;（2）求證直線過定點(diǎn);（3）求的最小值.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）20.【分析】（1）利用拋物線焦半徑公式求解即可.（2）首先設(shè)直線方程為，，與拋物線聯(lián)立得到，根據(jù)得到，從而得到直線過定點(diǎn).（3）首先根據(jù)圖形得到，從而得到，再利用基本不等式求解最小值即可.【詳解】（1）由題意可得拋物線方程為（2）設(shè)直線方程為，，如圖所示：代入拋物線方程中，消去得， ，.解得或（舍去）直線方程為，直線過定點(diǎn).（3）當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.的最小值為.25．(本題11分)設(shè)函數(shù)（），方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，且．（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求正數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）化簡(jiǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根以及函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（3）分析出，可得出，對(duì)分類討論即可求解.【詳解】（1），，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，， ，即；（2）①當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，，即，解得：；②當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，，即，解得：，由①②可知：；（3）由（2）可知，①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，，，為方程的兩個(gè)根，則，為方程的正根， ，，；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，．當(dāng)，即時(shí)，為方程的較小根，，在單調(diào)遞減，，；當(dāng)，即時(shí)，為方程的正根，，，，