高一下冊數(shù)學(xué)清單1平面向量的概念、線性運(yùn)算及基本定理一、知識與方法清單1.向量向量是既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)注意向量與有向線段的區(qū)別：(1)向量只有大小和方向兩個要素，與起點(diǎn)無關(guān).只要大小和方向相同，這兩個向量就是相等的向量.(2)有向線段是表示向量的工具，它有起點(diǎn)、大小和方向三個要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.【對點(diǎn)訓(xùn)練1】設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是(　　)A．0B．1C．2D．32.零向量長度為0的向量；注意零向量的方向是任意的【對點(diǎn)訓(xùn)練2】下列敘述錯誤的是________．①若a∥b，b∥c，則a∥c.②若非零向量a與b方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同．③|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同．④向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.⑤＋＝0.⑥若λa＝λb，則a＝b.3.單位向量單位向量是長度等于1個單位長度的向量，注意單位向量的長度確定，但方向不確定，故單位向量有無數(shù)個，與非零向量a共線的單位向量為±.【對點(diǎn)訓(xùn)練3】與共線的單位向量為4.平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量是共線向量，注意課本規(guī)定零向量與任意向量都共線.【對點(diǎn)訓(xùn)練4】對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5.相等向量長度相等且方向相同的向量是相等向量解讀：對平行向量、相等向量概念的理解(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，規(guī)定零向量與任意向量平行，即對任意的向量a，都有0∥a，這里注意概念中提到的“非零向量”.(2)對于任意兩個相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).在平面上，兩個長度相等且指向一致的有向線段表示同一個向量，因?yàn)橄蛄客耆伤姆较蚝湍４_定的.(3)相等向量是平行(共線)向量，但平行(共線)向量不一定是相等向量.【對點(diǎn)訓(xùn)練5】給出下列命題：①兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若＝，則四點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成平行四邊形；④在?ABCD中，一定有＝；⑤若m＝n，n＝p，則m＝p.其中不正確的個數(shù)是(　　)A．2B．3C．4D．56.相反向量長度相等且方向相反的向量是相反向量解讀：對相反向量的兩點(diǎn)說明(1)相反向量與方向相反的向量不是同一個概念，相反向量是方向相反，模長相等的兩個向量.(2)兩個非零向量a，b互為相反向量應(yīng)具備的條件：一是長度相等，二是方向相反，兩者缺一不可.【對點(diǎn)訓(xùn)練6】給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②若a，b都是單位向量，則a＝b；③向量與相等．則所有正確命題的序號是(　　)A．①B．③C．①③D．①②7.向量的加法法則①三角形法則：以第一個向量a的終點(diǎn)A為起點(diǎn)作第二個向量b，則以第一個向量a的起點(diǎn)O為起點(diǎn)以第二個向量b的終點(diǎn)B為終點(diǎn)的向量就是a與b的和(如圖1)． 圖1圖2②平行四邊形法則：以同一點(diǎn)A為起點(diǎn)的兩個已知向量a，b為鄰邊作?ABCD，則以A為起點(diǎn)的對角線就是a與b的和(如圖2)．在圖2中，＝＝b，因此平行四邊形法則是三角形法則的另一種形式．解讀：對向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的三點(diǎn)說明(1)兩個法則的使用條件不同.三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和.(2)當(dāng)兩個向量不共線時，兩個法則是一致的.(3)在使用三角形法則時要注意“首尾相連”，在使用平行四邊形法則時需要注意兩個向量的起點(diǎn)相同.【對點(diǎn)訓(xùn)練7】在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，＋＝λ，則λ＝________.8.向量的減法法則已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則＝a－b，即a－b表示從向量b的終點(diǎn)指向向量a(被減向量)的終點(diǎn)的向量(如圖)．解讀：向量減法法則的兩點(diǎn)說明(1)向量的減法法則有著豐富的幾何背景：當(dāng)a，b不共線時，a，b與a-b圍成一個三角形；當(dāng)a，b共線時，a，b與a-b不能圍成一個三角形.(2)向量的加法與向量的減法互為逆運(yùn)算，可以靈活轉(zhuǎn)化，減去一個向量等于加上這個向量的相反向量.【對點(diǎn)訓(xùn)練8】設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若＝3，則(　　)A.＝－＋B.＝－C.＝＋D.＝－9.實(shí)數(shù)與向量的乘積(1)定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①＝|λ||a|；②當(dāng)λ>0時，λa與a的方向相同； 當(dāng)λ<0時，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0.解讀：向量數(shù)乘定義的兩個關(guān)注點(diǎn)(1)條件：一個實(shí)數(shù)與一個向量乘積.(2)結(jié)論：向量數(shù)乘的結(jié)果為一個向量，其模等于這個實(shí)數(shù)的絕對值與這個向量模的乘積，其方向與實(shí)數(shù)的正負(fù)有關(guān).【對點(diǎn)訓(xùn)練9】已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(　　)A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向D．k＝－1且c與d反向10.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.解讀：對向量共線的條件的說明(1)在向量共線的條件中之所以限定a≠0，是由于若a=b=0，雖然λ仍然存在，可是λ不唯一.(2)根據(jù)向量共線的條件，對于非零向量a，b，確定實(shí)數(shù)λ，使b=λa時，分兩點(diǎn)：①確定符號，a與b同向時，λ為正；a與b反向時，λ為負(fù).②確定λ的絕對值.【對點(diǎn)訓(xùn)練10】已知a，b是兩個非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說法正確的是(　　)A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線反向D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb11.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點(diǎn)指向最后一個向量終點(diǎn)的向量，即＋＋＋…＋＝，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．【對點(diǎn)訓(xùn)練11】在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是(　　)A．矩形B．平行四邊形C．梯形D．以上都不對12.若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則＝(＋)．【對點(diǎn)訓(xùn)練12】如圖所示，設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且＋＝－2，則△ABC與△AOC的面積之比為________．13.＝λ＋μ(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1. 【對點(diǎn)訓(xùn)練13】如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若＝m，＝n，則m＋n的值為(　　)A．1B．2C．3D．414求已知向量的和．一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．【對點(diǎn)訓(xùn)練14】在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，BE與CF相交于G點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示.15.求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．【對點(diǎn)訓(xùn)練15】設(shè)D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1、λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．16.證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系．當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線．【對點(diǎn)訓(xùn)練16】已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是(　　)A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝117.向量a，b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時成立，則向量a，b不共線．【對點(diǎn)訓(xùn)練17】已知向量a，b，c中任意兩個都不共線，但a＋b與c共線，且b＋c與a共線，則向量a＋b＋c等于(　　)A．a(chǎn)B．bC．cD．0 18.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．解讀：對平面向量基本定理的兩點(diǎn)說明(1)作用和意義平面向量基本定理告訴我們，平面內(nèi)任何一個向量都可以沿著兩個不共線的方向分解成兩個向量的和，并且這種分解是唯一的.(2)基底的性質(zhì)：①不共線性平面內(nèi)兩個不共線的向量才可以作為一組基底，基底不同，表示也不同.由于零向量與任何向量共線，所以零向量不可以作為基底.②不唯一性對基底的選取不唯一，平面內(nèi)任一向量a都可被這個平面的一組基底e1，e2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的【對點(diǎn)訓(xùn)練18】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a，b，c滿足c＝xa＋yb(x，y∈R)，則x＋y＝________.19.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．【對點(diǎn)訓(xùn)練19】在平行四邊形ABCD中，E和F分別是CD和BC的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.的值．